由題設(shè)知:
(1) f(x)=-f(-x)
(2) g(x)=g(-x)
(3) 當(dāng)x0時, g(x) = g(-x) = -f(-x) = f(x)... (5)
由(1),(2)知
不等式f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)等價於
f(b)+f(a) > g(a) - g(b)(*)
考慮以下各種情況:
(i)設(shè)a,b>=0
則由(5)知g(a)=f(a), g(b)=f(b)
代入(*)得f(b)+f(a) > f(a)-f(b)
化簡得 f(b) > - f(b)
f(b)>0. 沒有矛盾出現(xiàn).
(ii)設(shè) a>=0, b f(a)+f(b), 矛盾!
(iii)設(shè) a0, 與f(x)在R上為增函數(shù)矛盾 (因為f是奇函數(shù), 所以必然在x=0).
(iv) 設(shè)a=0
則由(4),(5)知 g(a)=-f(a), g(b)=f(b).
代入(*)得 f(b)+f(a)> -f(a)-f(b)
化簡得 f(a)+f(b)>0
或 f(b)>f(-a). 由於f是增函數(shù), 所以 b> -a, 即a+b>0.
綜上所述, 只有(i)(iv)是可能的情況. 具體地說,
b一定>=0.
而a要么>=0, 要么 > -b. 但后者是更弱的要求, 于是可知
b>=0, a>-b.