1.幾何意義
在二次平面的一條曲線,我們可以考慮它在每一點的斜率的改變.
假設曲線的方程為y=f(x).在x=t時,y=f(t).曲線上的點A的坐標為(t,f(t)).考慮把t增大少許.當x=t+h時,y=f(t+h).曲線上點點的坐標為(t+h,f(t+h)).那么連起A和B的線的斜率就是
(f(t+h)-f(t))/h
當A和B的距離越來越小,也就是說h越來越接近0,那么AB就越來越接近曲線,也越來越接近曲線在A點的切線的斜率.在此,我們可以接入極限
lim (h->0) (f(t+h)-f(t))/h
這一點就是曲線在A點的切線的斜率.同時,這亦是微分的"first principle"
2.寫法
一般我們考慮對f(x)微分時,會寫df(x)/dx
3.性質
你可以嘗試由first principle 得到下列性質
1.d/dx (x^n) = nx^(n-1)
2.d/dx (sinx) = cosx
3.d/dx (cosx) = -sinx
4.d/dx (tanx) = sec^2 x
等等
范例：由first principle證明 d/dx ( sinx) = cosx
d/dx ( sin x)
=lim h->0 (sin(x+h)-sinx)/h
=lim h->0 2cos[(2x+h)/2]sin[h/2]/h (和差化積)
=lim h->0 cos[x+(h/2)]sin[h/2]/(h/2)
=lim h->0 cos[x+(h/2)] * lim h->0 sin[h/2]/[h/2]
=lim h->0 cos[x+(h/2)]
=cosx
上面的 lim h->0 sin [h/2]/[h/2] 是一個很著名的結果,你可以試著證明.
4.鏈法則 ( Chain rule)
當我們考慮df(y)/dx 的時候,可以怎樣做呢?
我們可以運用鏈法則
du/dx=du/dv * dv/dx
例子：
d/dx ( cos^2 x)
=d(cos^2 x)/d(cosx) * d(cosx)/dx
=2cos x * (-sinx)
=-2sinxcosx
上面就用到了鏈法則,這是細微分