當n≤8時，2ⁿ+256=2ⁿ（1+2^8-n），若它是完全平方數(shù)，則n是2的倍數(shù)．
若n=2，則2ⁿ+256=2²×65；
若n=4，則2ⁿ+256=2⁴×17；
若n=6，則2ⁿ+256=2⁶×5；
若n=8，則2ⁿ+256=2⁸×2．
所以，當n≤8時，2ⁿ+256都不是完全平方數(shù)．
當n＞8時，2ⁿ+256=2⁸（2^n-8+1），若它是完全平方數(shù)，則2^n-8+1為一奇數(shù)的平方．
設2^n-8+1=（2k+1）²（k為自然數(shù)），則2^n-10=k（k+1）．
由于k和k+1一奇一偶，
且是2的n-10次方，符合要求的只有1×2，
所以k=1，于是2^n-10=2，
故n=11．
故答案為：11．