首先明確一點(diǎn) a,b應(yīng)該都是大于0的,否則5/a+4/b最小值或者不存在或者無(wú)法求取——不知道是你漏說(shuō)了還是題目漏給了.
以下為解題步驟：
我們首先獲得x+y-2=3,x-y=-1,2x-y=3這三條直線,在坐標(biāo)圖上畫出這三條直線（這個(gè)你應(yīng)該會(huì)吧）,根據(jù)題目x+y-2≥3,x-y≥-1,2x-y≤3,我們知道x,y的取值范圍在坐標(biāo)圖上就是一個(gè)三角形ABC,其端點(diǎn)分別為A(2,3),B(8/3,7/3),C(4,5)
然后再看z=a/x+b/y,由于x,y,a,b都是正數(shù),則直線a/x+b/y-z=0的斜率肯定是負(fù)的.那么在圖上任意畫一條斜率小于0且經(jīng)過(guò)三角形ABC的直線,縱截距為bz.從圖上我們可以很直接的看出,當(dāng)直線平行上移時(shí),縱截距變大.要使z=a/x+b/y取到最大值10即縱截距最大為10b,則直線a/x+b/y-z=0必須經(jīng)過(guò)C點(diǎn),即x=4,y=5.
代入z=a/x+b/y得
10=4/a+5/b
兩邊都乘以ab得
10ab=5a+4b
又10ab=5a+4b≥2*√（5a）*√（4b）=2√（20ab）
化簡(jiǎn)得ab≥4/5
則5a+4b=10ab≥8,當(dāng)且僅當(dāng)a=4/5,b=1取“=”,所以5a+4b的最小值為8,
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說(shuō)明：1、10=4a+5b≥2*√（4a）*√（5b）=2√（20ab）（注：當(dāng)a,b都大于0時(shí),有公式a+b≥2√a√b）
2、這道題主要考察的是對(duì)二元一次不等式與平面坐標(biāo)圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系的熟悉程度,事實(shí)上如果單純從不等式的角度去解這道題是很麻煩很難的,但是如果把不等式看成是直線,在平面坐標(biāo)圖上畫出來(lái),就會(huì)一目了然.
以上,希望對(duì)你有所幫助!