這里是視x=g(y),x是因變量,y是自變量,來求函數(shù)x關(guān)于自變量y的二階導(dǎo)數(shù).
已知條件dx/dy=1/y'是函數(shù)x=g(y)與它的反函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系,題目的意思是從這個(gè)條件出發(fā),來求函數(shù)x關(guān)于自變量y的二階導(dǎo)數(shù).
解決此題的關(guān)鍵是,注意是對(duì)哪一個(gè)變量求導(dǎo)；要用到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.
具體解答如下：
d^2x/dy^2
=d[dx/dy]/dy（對(duì)一階導(dǎo)數(shù)再求一次導(dǎo)數(shù)）
=d[1/y']/dy（代入條件）
={d[1/y']/dx}*[dx/dy]（因?yàn)?/y'中的y'是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),是x的函數(shù),所以1/y'當(dāng)然也是x的函數(shù),這個(gè)x的函數(shù)現(xiàn)在要對(duì)y求導(dǎo),則需用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法,對(duì)1/y'先對(duì)x求導(dǎo),再對(duì)y求導(dǎo)）
={[-1/y'^2]*y''}*[dx/dy]（這里{[-1/y'^2]*y''}的得到又一次用了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法：對(duì)[1/y']先對(duì)y'求導(dǎo),y'再對(duì)x求導(dǎo)）
={[-1/y'^2]*y''}*[1/y']（代入條件）
=-y''/（y')^3.