“復(fù)數(shù)”、“虛數(shù)”這兩個(gè)名詞,都是人們?cè)诮夥匠虝r(shí)引入的.為了用公式求一元二次、三次方程的根,就會(huì)遇到求負(fù)數(shù)的平方根的問(wèn)題.1545年,意大利數(shù)學(xué)家卡丹諾（GirolamoCardano,1501年~1576年）在《大術(shù)》一書(shū)中,首先研究了虛數(shù),并進(jìn)行了一些計(jì)算.1572年,意大利數(shù)學(xué)家邦別利（RafaclBombclli,1525年~1650年）正式使用“實(shí)數(shù)”“虛數(shù)”這兩個(gè)名詞.此后,德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲（GottfriedWilbclmLcibniz,1646年~1716年）、瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler,1707年~1783年）和法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫佛（AbrabamdeMoivre,1667年~1754年）等又研究了虛數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等之間的關(guān)系,除解方程以外,還把它用于微積分等方面,得出很多有價(jià)值的結(jié)果,使某些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單而易于處理.大約在1777年,歐拉第一次用i來(lái)表示-1的平方根,1832年,德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（CarlFricdrichGauss,1777年~1855年）第一次引入復(fù)數(shù)概念,一個(gè)復(fù)數(shù)可以用a＋bi來(lái)表示,其中a,b是實(shí)數(shù),i代表虛數(shù)單位,這樣就把虛數(shù)與實(shí)數(shù)統(tǒng)一起來(lái)了.高斯還把復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái),給出了復(fù)數(shù)的一種幾何解釋.不久,人們又將復(fù)數(shù)與平面向量聯(lián)系起來(lái),并使其在電工學(xué)、流體力學(xué)、振動(dòng)理論、機(jī)翼理論中得到廣泛的實(shí)際應(yīng)用,然后,又建立了以復(fù)數(shù)為變數(shù)的“復(fù)變函數(shù)”的理論,這是一個(gè)嶄新而強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)分支,所以我們應(yīng)該深刻認(rèn)識(shí)到了“虛數(shù)不虛”的道理.
　　16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)（Jerome Cardan1501—1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書(shū)中,公布了三次方程的一般解法,被后人稱之為“卡當(dāng)公式”.他是第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家,并且在討論是否可能把10分成兩部分,使它們的乘積等于40時(shí),他把答案寫成=40,盡管他認(rèn)為和這兩個(gè)表示式是沒(méi)有意義的、想象的、虛無(wú)飄渺的,但他還是把10分成了兩部分,并使它們的乘積等于40.給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596—1650）,他在《幾何學(xué)》（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)”與“實(shí)的數(shù)”相對(duì)應(yīng),從此,虛數(shù)才流傳開(kāi)來(lái).
　　數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星——虛數(shù),于是引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑,很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù).德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（1646—1716）在1702年說(shuō)：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所,它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”.瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉（1707—1783）說(shuō)；“一切形如,習(xí)的數(shù)學(xué)武子都是不可能有的,想象的數(shù),因?yàn)樗鼈兯硎镜氖秦?fù)數(shù)的平方根.對(duì)于這類數(shù),我們只能斷言,它們既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它們純屬虛幻.”然而,真理性的東西一定可以經(jīng)得住時(shí)間和空間的考驗(yàn),最終占有自己的一席之地.法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾（1717—1783）在1747年指出,如果按照多項(xiàng)式的四則運(yùn)算規(guī)則對(duì)虛數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,那么它的結(jié)果總是的形式（a、b都是實(shí)數(shù)）（說(shuō)明：現(xiàn)行教科書(shū)中沒(méi)有使用記號(hào)＝－i,而使用=一1）.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫佛（1667—1754）在1730年發(fā)現(xiàn)公式了,這就是著名的棣莫佛定理.歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式,并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來(lái)表示一1的平方根,首創(chuàng)了用符號(hào)i作為虛數(shù)的單位.“虛數(shù)”實(shí)際上不是想象出來(lái)的,而它是確實(shí)存在的.挪威的測(cè)量學(xué)家成塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋,并首先發(fā)表其作法,然而沒(méi)有得到學(xué)術(shù)界的重視.
　　德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（1777—1855）在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法,即所有實(shí)數(shù)能用一條數(shù)軸表示,同樣,虛數(shù)也能用一個(gè)平面上的點(diǎn)來(lái)表示.在直角坐標(biāo)系中,橫軸上取對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a的點(diǎn)A,縱軸上取對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)b的點(diǎn)B,并過(guò)這兩點(diǎn)引平行于坐標(biāo)軸的直線,它們的交點(diǎn)C就表示復(fù)數(shù)a＋bi.象這樣,由各點(diǎn)都對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”,后來(lái)又稱“高斯平面”.高斯在1831年,用實(shí)數(shù)組（a,b）代表復(fù)數(shù)a＋bi,并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算,使得復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算也象實(shí)數(shù)一樣地“代數(shù)化”.他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個(gè)名詞,還將表示平面上同一點(diǎn)的兩種不同方法——直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合.統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中,并把數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)—一對(duì)應(yīng),擴(kuò)展為平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)—一對(duì)應(yīng).高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點(diǎn),而且還看作是一種向量,并利用復(fù)數(shù)與向量之間—一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法.至此,復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來(lái)了.
　　經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期不懈的努力,深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論,才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈——虛數(shù)揭去了神秘的面紗,顯現(xiàn)出它的本來(lái)面目,原來(lái)虛數(shù)不虛呵.虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員,從而實(shí)數(shù)集才擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集.