一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.如圖4所示,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點,BC=3過C作
圓的切線l,過A作l的垂線AD,垂足為D,則∠DAC =()
A.B.C.D.
【解析】由弦切角定理得 ,又 ,故 ,
故選B.
2.在 中, 、 分別是斜邊 上的高和中線,是該圖中共有 個三角形與 相似,則 ( )
A.0B.1C.2 D.3
【解析】2個: 和 ,故選C.
3.一個圓的兩弦相交,一條弦被分為12 和18 兩段,另一弦被分為 ,則另一弦的長為()
A. B.C.D.
【解析】設另一弦被分的兩段長分別為 ,由相交弦定理得 ,解得 ,故所求弦長為.故選B.
4.如圖,在 和 中, ,若 與
的周長之差為 ,則 的周長為( )
A. B. C. D.25
【解析】利用相似三角形的相似比等于周長比可得答案D.
5. 的割線 交 于 兩點,割線 經過圓心,已知 ,則 的半徑為()
A.4 B. C.D.8
【解析】設 半徑為 ,由割線定理有 ,解得 .故選D.
6.如圖, 是半圓 的直徑,點 在半圓上, 于點 ,
且 ,設 ,則 ＝()
A.B.C. D.
【解析】設半徑為 ,則 ,由 得 ,從而 ,故 ,選A.
7.在 中, 分別為 上的點,且 , 的面積是 ,梯形 的面積為 ,則 的值為()
A.B.C.D.
【解析】 ,利用面積比等于相似比的平方可得答案B.
8.半徑分別為1和2的兩圓外切,作半徑為3的圓與這兩圓均相切,一共可作()個.
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】一共可作5個,其中均外切的2個,均內切的1個,一外切一內切的2個,故選D.
9.如圖甲,四邊形 是等腰梯形, .由4個這樣的
等腰梯形可以拼出圖乙所示的平行四邊形,
則四邊形 中 度數(shù)為 ()
A.B.C. D.
【解析】 ,從而 ,選A.
10.如圖,為測量金屬材料的硬度,用一定壓力把一個高強度鋼珠
壓向該種材料的表面,在材料表面留下一個凹坑,現(xiàn)測得凹坑
直徑為10mm,若所用鋼珠的直徑為26 mm,則凹坑深度為()
A.1mmB.2 mm C.3mm D.4 mm
【解析】依題意得 ,從而 ,
故 ,選A.
11.如圖,設 為 內的兩點,且 , ＝＋,則 的面積與 的面積之比為()
A.B.C.D.
【解析】如圖,設 , ,則 .
由平行四邊形法則知 ,所以 ＝ ,
同理可得 ．故 ,選B.
12.如圖,用與底面成 角的平面截圓柱得一橢圓截線,則該橢圓的
離心率為 ()
A．B．C． D．非上述結論
【解析】用平面截圓柱,截線橢圓的短軸長為圓柱截面圓的直徑,弄清了這一概念,考慮橢圓所在平面與底面成 角,則離心率 .故選A.
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上.
13.一平面截球面產生的截面形狀是_______;它截圓柱面所產生的截面形狀是________
【解析】圓;圓或橢圓.
14.如圖,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝720,⊙O過A、B兩點且
與BC相切于點B,與AC交于點D,連結BD,若BC＝ ,
則AC＝
【解析】由已知得 , ,
解得 .
15.如圖, 為 的直徑,弦 、 交于點 ,
若 ,則 =
【解析】連結 ,則 ,又 ,
從而 ,
所以 .
16.如圖為一物體的軸截面圖,則圖中R的值
是
【解析】由圖可得 ,解得 .
三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
如圖: 是 的兩條切線, 是切點, 是
上兩點,如果 ,試求 的度數(shù).
【解析】連結 ,根據(jù)弦切角定理,可得
.
18.(本小題滿分12分)
如圖,⊙ 的直徑 的延長線與弦 的延長線相交于點 ,
為⊙O上一點, , 交 于點 ,且 ,
求 的長度.
【解析】連結 ,由同弧對應的圓周角與圓心角之間的關系
結合題中條件 可得 ,又 ,
,從而 ,故,∴ ,
由割線定理知 ,故 .
19.(本小題滿分12分)
已知:如右圖,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,
AB＝DC,過點D作AC的平行線DE,交BA的延長線于
點E．求證：(1)△ABC≌△DCB (2)DE•DC＝AE•BD．
【解析】證明：(1) ∵四邊形ABCD是等腰梯形,∴AC＝DB
∵AB＝DC,BC＝CB,∴△ABC≌△BCD
(2)∵△ABC≌△BCD,∴∠ACB＝∠DBC,∠ABC＝∠DCB
∵AD‖BC,∴∠DAC＝∠ACB,∠EAD＝∠ABC
∵ED‖AC,∴∠EDA＝∠DAC ∴∠EDA＝∠DBC,∠EAD＝∠DCB
∴△ADE∽△CBD∴DE:BD＝AE:CD, ∴DE•DC＝AE•BD.
20.(本小題滿分12分)
如圖,△ABC中,AB=AC,AD是中線,P為AD上一點,CF‖AB,BP延長線交AC、CF于E、F,求證: PB =PE•PF．
【解析】連結 ,易證
∵∴ ,從而
又 為 與 的公共角,
從而 ,∴ ∴
又 , ∴ ,命題得證.
21.(本小題滿分12分)
如圖, 是以 為直徑的 上一點, 于點 ,
過點 作 的切線,與 的延長線相交于點 是
的中點,連結 并延長與 相交于點 ,
延長 與 的延長線相交于點 .
(1)求證: ；
(2)求證: 是 的切線；
(3)若 ,且 的半徑長為 ,求 和 的長度.
【解析】(1)證明： 是 的直徑, 是 的切線,
．又 , ．
易證 , ．
． ．
是 的中點, ． ．
(2)證明：連結 ． 是 的直徑, ．
在 中,由（1）,知 是斜邊 的中點,
． ．又 , ．
是 的切線, ．
, 是 的切線．
(3)過點 作 于點 ． , ．
由(1),知 , ．
由已知,有 , ,即 是等腰三角形．
, ． , ,即 ．
, 四邊形 是矩形, ．
,易證 ． ,即 ．
的半徑長為 , ． ．
解得 ． ． , ． ．
在 中, , ,由勾股定理,得 ．
．解得 （負值舍去）． ．
〔或取 的中點 ,連結 ,則 ．易證 , ,故 , ．由 ,易知 , ．
由 ,解得 ．又在 中,由勾股定理,得
, （舍去負值）．〕
22.(本小題滿分14分)
如圖1,點 將線段 分成兩部分,如果 ,那么稱點 為線段 的黃金分割點.某研究小組在進行課題學習時,由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”,類似地給出“黃金分割線”的定義:直線 將一個面積為 的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為 , ,如果 ,那么稱直線 為該圖形的黃金分割線.
(1)研究小組猜想：在 中,若點 為 邊上的黃金分割點(如圖2),則直線 是 的黃金分割線．你認為對嗎?為什么?
(2)請你說明:三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線?
(3)研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點 任作一條直線交 于點 ,再過點 作直線 ,交 于點 ,連接 (如圖3),則直線 也是 的黃金分割線．請你說明理由．
(4)如圖4,點 是 的邊 的黃金分割點,過點 作 ,交 于點 ,顯然直線 是 的黃金分割線.請你畫一條 的黃金分割線,使它不經過 各邊黃金分割點.
【解析】(1)直線 是 的黃金分割線.理由如下:設 的邊 上的高為 ．
, , ,所以 ,
又因為點 為邊 的黃金分割點,所以有 ．因此 ．
所以,直線 是 的黃金分割線.
(2)因為三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分,此時 ,即 ,所以三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線.
(3)因為 ,∴ 和 的公共邊 上的高也相等,所以有
設直線 與 交于點 ．所以 ．所以
, ．
又因為 ,所以 .
因此,直線 也是 的黃金分割線．
(4)畫法不惟一,現(xiàn)提供兩種畫法；
畫法一：如答圖1,取 的中點 ,再過點 作一條直線分別交 , 于 , 點,則直線 就是 的黃金分割線．
畫法二:如答圖2,在 上取一點 ,連接 ,再過點 作 交 于點 ,連接 ,則直線 就是 的黃金分割線．