你對(duì)問(wèn)題的描述有問(wèn)題,應(yīng)該是f(xn)收斂.這個(gè)是肯定的.
你舉的例子是不正確的.
注意到,f(x)=1/x是單調(diào)的,但不是有界的.
下面證明f(xn)收斂.
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假若xn單調(diào),且有界,那么它一定存在一個(gè)極限,設(shè)為A
那么f(xn)趨向于f(A),因而收斂 .
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假若xn單調(diào),但無(wú)界,那么它趨向∞,
注意到,f(x)單調(diào)有界,那么必有極限,
也就是說(shuō),當(dāng)x充分大時(shí),f(x)有極限,設(shè)為B
稍微嚴(yán)格地語(yǔ)言描述為：
存在一個(gè)正數(shù)M,使得當(dāng)|x|>M時(shí),lim(x→∞)[f(x)-B]=0
也就是說(shuō),
當(dāng)x→∞時(shí),lim(x→∞)[f(x)-B]=0
那么f(x)自然是收斂的.
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證畢.
【經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)為你解答!】