令x=tant,則dx=sec²tdt
∫dx/[x√(1+x²)]
=∫sec²t/(tantsect) dt
=∫sect/tant dt
=∫1/sint dt
=∫csct dx
=∫csct(csct-cott)/(csct-cott)dt
=∫(csc²t-csctcott)/(csct-cott)dx
=∫d(csct-cott)/(csct-cott)
=ln|csct-cott|+C
=ln|[√(1+x²)-1]/x|+C
=ln[√(1+x²)-1]-ln|x|+C
C為任意常數(shù)
你的答案和我的答案其實是一樣的
-1/2lnl(1+(1+x^2)^1/2)/(1-(1+x^2)^1/2)l+C
=(1/2) ln[l(1+(1+x^2)^1/2)/(1-(1+x^2)^1/2)l^(-1)]+C.利用對數(shù)性質(zhì),把負(fù)號消掉
=(1/2)lnl(1-(1+x^2)^1/2)/(1+(1+x^2)^1/2)l+C
=(1/2)ln|(1-(1+x^2)^1/2)²/x²|+C.對數(shù)真數(shù)分母有理化,分子分母同時乘以1-(1+x^2)^1/2
=ln|((1+x^2)^1/2-1)/x|+C.利用對數(shù)性質(zhì),把1/2化進(jìn)真數(shù)
=ln[√(1+x²)-1]-ln|x| +C .對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)