自變量x和因變量y有如下關(guān)系：
y=kx+b （k為任意不為零實數(shù),b為任意實數(shù)）
則此時稱y是x的一次函數(shù).
特別的,當b=0時,y是x的正比例函數(shù).
即：y=kx （k為任意不為零實數(shù)）
定義域：自變量的取值范圍,自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義；若與實際相反,
.
一次函數(shù)的性質(zhì)
1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例,比值為k
即：y=kx+b（k≠0) （k為任意不為零的實數(shù) b取任何實數(shù)）
2.當x=0時,b為函數(shù)在y軸上的截距.
3.k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角)
形.取.象.交.減
一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)
1．作法與圖形：通過如下3個步驟
（1）列表[一般取兩個點,根據(jù)兩點確定一條直線]；
（2）描點；
（3）連線,可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線.因此,作一次函數(shù)的圖像只需知道2點,并連成直線即可.（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點）
2．性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點P（x,y）,都滿足等式：y=kx+b(k≠0).（2）一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是（0,b),與x軸總是交于（-b/k,0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點.
3．函數(shù)不是數(shù),它是指某一變量過程中兩個變量之間的關(guān)系.
4．k,b與函數(shù)圖像所在象限：
y=kx時
當k＞0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大；
當k＜0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小.
y=kx+b時：
當 k>0,b>0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一,二,三象限.
當 k>0,b<0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一,三,四象限.
當 k<0,b<0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過二,三,四象限.
當 k<0,b>0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一,二,四象限.
當b＞0時,直線必通過一、二象限；
當b＜0時,直線必通過三、四象限.
特別地,當b=0時,直線通過原點O（0,0）表示的是正比例函數(shù)的圖像.
這時,當k＞0時,直線只通過一、三象限；當k＜0時,直線只通過二、四象限.
4、特殊位置關(guān)系
當平面直角坐標系中兩直線平行時,其函數(shù)解析式中K值（即一次項系數(shù)）相等
當平面直角坐標系中兩直線垂直時,其函數(shù)解析式中K值互為負倒數(shù)（即兩個K值的乘積為-1）
確定一次函數(shù)的表達式
已知點A（x1,y1）；B（x2,y2）,請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達式.
（1）設(shè)一次函數(shù)的表達式（也叫解析式）為y=kx+b.
（2）因為在一次函數(shù)上的任意一點P（x,y）,都滿足等式y(tǒng)=kx+b.所以可以列出2個方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
（3）解這個二元一次方程,得到k,b的值.
（4）最后得到一次函數(shù)的表達式.
一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用
1.當時間t一定,距離s是速度v的一次函數(shù).s=vt.
2.當水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù).設(shè)水池中原有水量S.g=S-ft.
常用公式（不全,希望有人補充）
1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）
5.求兩一次函數(shù)式圖像交點坐標：解兩函數(shù)式
兩個一次函數(shù) y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 兩式任一式 得到y(tǒng)=y0 則(x0,y0)即為 y1=k1x+b1 與 y2=k2x+b2 交點坐標
6.求任意2點所連線段的中點坐標：[（x1+x2）/2,（y1+y2）/2]
7.求任意2點的連線的一次函數(shù)解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母為0,則分子為0)
k b
+ + 在一、二、三象限
+ - 在一、三、四象限
- + 在一、二、四象限
- - 在二、三、四象限
8.若兩條直線y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2,那么k1=k2,b1≠b2
9.如兩條直線y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,那么k1×k2=-1
應(yīng)用
一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)是：（1）當k>0時,y隨x的增大而增大；（2）當k<0時,y隨x的增大而減小.利用一次函數(shù)的性質(zhì)可解決下列問題.
一、確定字母系數(shù)的取值范圍
例1. 已知正比例函數(shù) ,則當m=______________時,y隨x的增大而減小.
根據(jù)正比例函數(shù)的定義和性質(zhì),得 且m<0,即 且 ,所以 .
二、比較x值或y值的大小
例2. 已知點P1（x1,y1）、P2（x2,y2）是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上的兩個點,且y1>y2,則x1與x2的大小關(guān)系是（ ）
A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.無法確定
根據(jù)題意,知k=3>0,且y1>y2.根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)“當k>0時,y隨x的增大而增大”,得x1>x2.故選A.
三、判斷函數(shù)圖象的位置
例3. 一次函數(shù)y=kx+b滿足kb>0,且y隨x的增大而減小,則此函數(shù)的圖象不經(jīng)過（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
由kb>0,知k、b同號.因為y隨x的增大而減小,所以k<0.所以b<0.故一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限,不經(jīng)過第一象限.故選A . 典型例題:
例1. 一個彈簧,不掛物體時長12cm,掛上物體后會伸長,伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比例.如果掛上3kg物體后,彈簧總長是13.5cm,求彈簧總長是y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式.如果彈簧最大總長為23cm,求自變量x的取值范圍.
分析：此題由物理的定性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的定量問題,同時也是實際問題,其核心是彈簧的總長是空載長度與負載后伸長的長度之和,而自變量的取值范圍則可由最大總長→最大伸長→最大質(zhì)量及實際的思路來處理.
由題意設(shè)所求函數(shù)為y=kx+12
則13.5=3k+12,得k=0.5
∴所求函數(shù)解析式為y=0.5x+12
由23=0.5x+12得：x=22
∴自變量x的取值范圍是0≤x≤22

一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)在中考說明中是C級知識點,特別是根據(jù)問題中的條件求函數(shù)解析式和用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式在中考說明中是D級知識點.它常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、方程組、不等式綜合在一起,以選擇題、填空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中,大約占有8分左右.解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
例2.如果一次函數(shù)y=kx+b中x的取值范圍是-2≤x≤6,相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是-11≤y≤9.求此函數(shù)的的解析式.
（1）若k＞0,則可以列方程組 -2k+b=-11
6k+b=9
解得k=2.5 b=-6 ,則此時的函數(shù)關(guān)系式為y=2.5x—6
（2）若k＜0,則可以列方程組 -2k+b=9
6k+b=-11
解得k=-2.5 b=4,則此時的函數(shù)解析式為y=-2.5x+4

此題主要考察了學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解,若k＞0,則y隨x的增大而增大；若k＜0,則y隨x的增大而減小.
一次函數(shù)解析式的幾種類型
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]
（k為直線斜率,b為直線縱截距,正比例函數(shù)b=0）
③y-y1=k(x-x1)[點斜式]
（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個點）
④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[兩點式]
（（x1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點）
⑤x/a-y/b=0[截距式]
（a、b分別為直線在x、y軸上的截距）
解析式表達局限性：
①所需條件較多（3個）；
②、③不能表達沒有斜率的直線（平行于x軸的直線）；
④參數(shù)較多,計算過于煩瑣；
⑤不能表達平行于坐標軸的直線和過圓點的直線.
傾斜角：x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜 角.設(shè)一直線的傾斜角為a,則該直線的斜率k=tg(a)
形如y=kx(k為常數(shù),且k不等于0）,y就叫做x的正比例函數(shù).
正比例函數(shù)屬于一次函數(shù),正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式.
即當一次函數(shù) y=kx+b 若b=0,則此為正比例函數(shù).
圖像做法
1.列表
2.描點
3.連線(一定要經(jīng)過坐標軸的原點)
其次,正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過原點和（1,k）[或(2,2k),(3,3k)等]兩點的一條直線.
其他:當k>0時,它的圖像（除原點外）在第一、三象限,y隨x的增大而增大
當k<0時,它的圖像（除原點外）在第二、四象限,y隨x的增大而減小
總結(jié):y＝kx(k不等于0)
而以方程的角度來說,只要將正比例函數(shù)上的一個點的坐標給出,就能確定這個解析式
若求正比例函數(shù)與一次函數(shù),二次函數(shù)或反比例函數(shù)的交點坐標,就是將兩個已知的方程聯(lián)立成方程組
求出其x,y值便可
正比例函數(shù)在線性規(guī)劃問題中體現(xiàn)的力量也是無窮的
比如斜率問題就取決于K值,當K越大,則該函數(shù)圖像與x軸的夾角越大,反之亦然
還有,Y=Kx是Y=K/x 圖像的對稱軸.
1）正比例：兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關(guān)系叫做成正比例關(guān)系． ①用字母表示：如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量,用k表示它們的比值,（一定）正比例關(guān)系可以用以下關(guān)系式表示：
②正比例關(guān)系兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律：對于比值為正數(shù)的,即y=kx(k>0),此時的y與x,同時擴大,同時縮小,比值不變．例如：汽車每小時行駛的速度一定,所行的路程和所用的時間是否成正比例?
以上各種商都是一定的,那么被除數(shù)和除數(shù)． 所表示的兩種相關(guān)聯(lián)的量,成正比例關(guān)系． 注意：在判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例時應(yīng)注意這兩種相關(guān)聯(lián)的量,雖然也是一種量,隨著另一種的變化而變化,但它們相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值不一定,它們就不能成正比例． 例如：一個人的年齡和它的體重,就不能成正比例關(guān)系,正方形的邊長和它的面積也不成正比例關(guān)系．