證明：
1)因為 1.21306=121306/100000,
所以 1.21306是有理數(shù).
2)假設(shè)三次根號3是有理數(shù),則存在互質(zhì)的兩個正整數(shù)p,q,使得
三次根號3=p/q.
所以 3=p^3/q^3,
即 p^3=3q^3.
所以 3|p^3.
所以 3|p,即p=3r,k是正整數(shù).
所以 27r^3=3q^3.
即 q^3=9r^3.
所以 3|q.
所以 p,q有公因子3,與p,q互質(zhì)矛盾.
所以 假設(shè)不成立,即三次根號3是無理數(shù).
3) i)先證根號3是無理數(shù).
假設(shè)根號3是有理數(shù),則存在互質(zhì)的兩個正整數(shù)m,n,使得
根號3=m/n.
所以 3=m^2/n^2,
即 m^3=3n^3.
所以 3|m^2.
所以 3|m,即m=3k,k是正整數(shù).
所以 9k^2=3n^2.
即 n^2=3k^2.
所以 3|n.
所以 m,n有公因子3,與m,n互質(zhì)矛盾.
所以 假設(shè)不成立,即根號3是無理數(shù).
ii)再證(三次根號2-根號3)是無理數(shù).
令 x=三次根號2-根號3,則
三次根號2=x+根號3.
兩邊立方,得
2=x^3+3(根號3)x^2+9x+3(根號3).
即
(根號3)=(2-9x)/[3(x^2+1)].
假設(shè) x是有理數(shù),則
(根號3)=(2-9x)/[3(x^2+1)]
是有理數(shù),與根號3是無理數(shù)矛盾.
所以假設(shè)不成立,即
(三次根號2-根號3)是無理數(shù).
= = = = = = = = =
說明：
1.用第三問的方法可以證明：
根號(p),(p是質(zhì)數(shù)）是無理數(shù).
2.用第二問的方法可以證明：
n次根號(p),(p是質(zhì)數(shù)）是無理數(shù).
3.第三問中,如果用 根號3=三次根號2-x,
那么兩邊平方后：3=三次根號4-2*三次根號2+x^2.
里面出現(xiàn)兩個無理數(shù),證明更麻煩.