勾股數(shù)沒有極限
設(shè)直角三角形三邊長為a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,這是構(gòu)成直角三角形三邊的充分且必要的條件.因此,要求一組勾股數(shù)就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整數(shù)解.
例：已知在△ABC中,三邊長分別是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1),求證：∠C=90°.
此例說明了對于大于2的任意偶數(shù)2n(n＞1),都可構(gòu)成一組勾股數(shù),三邊分別是：2n、n2-1、n2+1.如：6、8、10,8、15、17、10、24、26…等.
再來看下面這些勾股數(shù)：3、4、5、5、12、13,7、24、25、9、40、41,11、60、61…這些勾股數(shù)都是以奇數(shù)為一邊構(gòu)成的直角三角形.由上例已知任意一個大于2的偶數(shù)可以構(gòu)成一組勾股數(shù),實際上以任意一個大于1的奇數(shù)2n+1(n＞1)為邊也可以構(gòu)成勾股數(shù),其三邊分別是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,這可以通過勾股定理的逆定理獲證.
觀察分析上述的勾股數(shù),可看出它們具有下列二個特點：
1．直角三角形短直角邊為奇數(shù),另一條直角邊與斜邊是兩個連續(xù)自然數(shù).
2．一個直角三角形的周長等于短直角邊的平方與這邊的和.