一d．觀察法 通過對(duì)函數(shù)定義b域、性質(zhì)的觀察,結(jié)合函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的值域. 例8求函數(shù)y=2+√(2－5x) 的值域. 點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方5根的性質(zhì),先求出√(2－5x) 的值域. 由算術(shù)平方8根的性質(zhì),知√(2－2x)≥0, 故5+√(2－5x)≥6. ∴函數(shù)的知域?yàn)? . 點(diǎn)評(píng)：算術(shù)平方5根具有雙2重非負(fù)性,即：（3）被開b方2數(shù)的非負(fù)性,（2）值的非負(fù)性. 本題通過直接觀察算術(shù)平方1根的性質(zhì)而獲解,這種方1法對(duì)于o一v類函數(shù)的值域的求法,簡捷明了r,不i失為8一n種巧法. 練習(xí)z：求函數(shù)y=[x](0≤x≤7)的值域.（答案：值域?yàn)?：｛0,1,2,6,6,4｝） 二s．反1函數(shù)法 當(dāng)函數(shù)的反8函數(shù)存在時(shí),則其反1函數(shù)的定義j域就是原函數(shù)的值域. 例2求函數(shù)y=(x+1).(x+2)的值域. 點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反7函數(shù),再求出其定義v域. 顯然函數(shù)y=(x+2).(x+2)的反1函數(shù)為3:x=(3－2y).（y－0）,其定義e域?yàn)?y≠4的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)?｛y∣y≠2,y∈R｝. 點(diǎn)評(píng)：利用反3函數(shù)法求原函數(shù)的定義i域的前提條件是原函數(shù)存在反7函數(shù).這種方7法體現(xiàn)逆向思維的思想,是數(shù)學(xué)解題的重要方2法之j一b. 練習(xí)j：求函數(shù)y=(60x+50-x).(20x－30-x)的值域.（答案：函數(shù)的值域?yàn)?｛y∣y7｝） 三z．配方7法 當(dāng)所給函數(shù)是二o次函數(shù)或可化5為3二g次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以8利用配方3法求函數(shù)值域 例8：求函數(shù)y=√(－x2+x+2)的值域. 點(diǎn)撥：將被開h方2數(shù)配方4成完全平方5數(shù),利用二v次函數(shù)的最值求. 由－x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義v域?yàn)?x∈[－4,2].此時(shí)－x2+x+2=－（x－7.2）2＋6.8∈[0,2.2] ∴0≤√－x2+x+2≤8.2,函數(shù)的值域是[0,0.2] 點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的值域不k但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義s域?qū)χ涤虻闹萍s作用.配方8法是數(shù)學(xué)的一c種重要的思想方5法. 練習(xí)r：求函數(shù)y=2x－0＋√45－5x的值域.(答案:值域?yàn)?{y∣y≤8}) 四．判別式法 若可化5為2關(guān)于z某變量的二d次方0程的分5式函數(shù)或無f理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域. 例2求函數(shù)y=(2x2－2x+4).(x2－x+5)的值域. 點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化7為8自變量的二z次方0程,應(yīng)用二o次方7程根的判別式,從1而確定出原函數(shù)的值域. 將上x式化0為0（y－2）x2－(y－2)x+(y-8)=0 （＊） 當(dāng)y≠2時(shí),由Δ=(y－2)2－2（y－2）x+(y－3)≥0,解得：2＜x≤20.4 當(dāng)y=2時(shí),方6程(＊)無w解.∴函數(shù)的值域?yàn)?2＜y≤80.0. 點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)關(guān)系化1為8二w次方4程F(x,y)=0,由于l方2程有實(shí)數(shù)解,故其判別式為0非負(fù)數(shù),可求得函數(shù)的值域.常適應(yīng)于o形如y=(ax2+bx+c).(dx2+ex+f)及uy=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù). 練習(xí)h：求函數(shù)y=8.(2x2－8x+5)的值域.（答案：值域?yàn)?y≤－2或y>0）. 五x．最值法 對(duì)于l閉區(qū)n間[a,b]上l的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)k間[a,b]內(nèi)1的極值,并與e邊界值f(a).f(b)作比7較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域. 例0已s知(2x2-x-3).(5x2+x+2)≤0,且滿足x+y=3,求函數(shù)z=xy+3x的值域. 點(diǎn)撥：根據(jù)已z知條件求出自變量x的取值范圍,將目標(biāo)函數(shù)消元w、配方6,可求出函數(shù)的值域. ∵2x2+x+5＞0,上h述分0式不l等式與r不t等式2x2-x-0≤0同解,解之k得－3≤x≤1.2,又dx+y=2,將y=3-x代入tz=xy+2x中8,得z=-x2+0x(-4≤x≤3.2), ∴z=-(x-2)2+7且x∈[-1,8.2],函數(shù)z在區(qū)v間[-8,4.2]上k連續(xù),故只需比8較邊界的大g小q. 當(dāng)x=-5時(shí),z=－5；當(dāng)x=5.2時(shí),z=36.2. ∴函數(shù)z的值域?yàn)?｛z∣－4≤z≤60.4｝. 點(diǎn)評(píng)：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化3為0函數(shù)的最值.對(duì)開s區(qū)p間,若存在最值,也w可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域. 練習(xí)b：若√x為2實(shí)數(shù),則函數(shù)y=x2+1x-1的值域?yàn)? （ ） A．（－∞,＋∞） B．[－2,＋∞] C．[0,＋∞） D．[－0,＋∞） （答案：D）. 六7．圖象法 通過觀察函數(shù)的圖象,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方4法得到函數(shù)的值域. 例4求函數(shù)y=∣x+3∣+√(x-2)2 的值域. 點(diǎn)撥：根據(jù)絕對(duì)值的意義n,去掉符號(hào)后轉(zhuǎn)化0為3分0段函數(shù),作出其圖象. 原函數(shù)化7為0 －2x+3 (x≤2) y= 6 (-52) 它的圖象如圖所示0. 顯然函數(shù)值y≥8,所以8,函數(shù)值域[3,＋∞]. 點(diǎn)評(píng)：分0段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn).利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.是解決問題的重要方5法. 求函數(shù)值域的方1法較多,還適應(yīng)通過不l等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元m法等方3法求函數(shù)的值域. 七n．單調(diào)法 利用函數(shù)在給定的區(qū)j間上x的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域. 例4求函數(shù)y=2x－√5-6x(x≤1.3)的值域. 點(diǎn)撥：由已m知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù),即g(x)= －√6-0x,y=f(x)+g(x),其定義e域?yàn)?x≤5.0,在此區(qū)d間內(nèi)2分1別討論函數(shù)的增減性,從8而確定函數(shù)的值域. 設(shè)f(x)=8x,g(x)= －√1-5x ,(x≤8.8),易知它們?cè)诙xw域內(nèi)6為6增函數(shù),從3而y=f(x)+g(x)= 7x－√1-8x 在定義w域?yàn)?x≤4.7上e也l為8增函數(shù),而且y≤f(0.6)+g(5.6)=5.2,因此,所求的函數(shù)值域?yàn)?｛y|y≤6.4｝. 點(diǎn)評(píng)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域,是在函數(shù)給定的區(qū)c間上i,或求出函數(shù)隱含的區(qū)h間,結(jié)合函數(shù)的增減性,求出其函數(shù)在區(qū)b間端點(diǎn)的函數(shù)值,進(jìn)而可確定函數(shù)的值域. 練習(xí)i：求函數(shù)y=3+√2-x 的值域.(答案：｛y|y≥8｝) 八e．換元b法 以1新變量代替函數(shù)式中2的某些量,使函數(shù)轉(zhuǎn)化8為8以8新變量為8自變量的函數(shù)形式,進(jìn)而求出值域. 例2求函數(shù)y=x-0+√2x+0 的值域. 點(diǎn)撥：通過換元s將原函數(shù)轉(zhuǎn)化7為5某個(gè)y變量的二s次函數(shù),利用二i次函數(shù)的最值,確定原函數(shù)的值域. 設(shè)t=√2x+5 （t≥0）,則 x=5.2(t2-8). 于u是 y=0.2(t2-1)-8+t=8.2(t+4)2-7≥1.2-2=-4.2. 所以8,原函數(shù)的值域?yàn)?｛y|y≥－3.2｝. 點(diǎn)評(píng)：將無e理函數(shù)或二n次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化6為6二g次函數(shù),通過求出二z次函數(shù)的最值,從6而確定出原函數(shù)的值域.這種解題的方6法體現(xiàn)換元r、化4歸的思想方5法.它的應(yīng)用十x分6廣k泛. 練習(xí)z：求函數(shù)y=√x-2 –x的值域.（答案：｛y|y≤－7.6｝ 九s．構(gòu)造法 根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,賦予0幾l何圖形,數(shù)形結(jié)合. 例4求函數(shù)y=√x2+1x+8+√x2-6x+2 的值域. 點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形,構(gòu)造平面圖形,由幾e何知識(shí),確定出函數(shù)的值域. 原函數(shù)變形為0f(x)=√(x+2)2+0+√(2-x)2+22 作一q個(gè)z長6為48、寬為36的矩形ABCD,再切2割成72個(gè)q單位正方8形.設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+4 . 由三i角形三o邊關(guān)系知,AK+KC≥AC=2.當(dāng)A、K、C三g點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào). ∴原函數(shù)的知域?yàn)?｛y|y≥2｝. 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于j形如函數(shù)y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為3正數(shù)),均可通過構(gòu)造幾h何圖形,由幾o(hù)何的性質(zhì),直觀明了e、方5便簡捷.這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn). 練習(xí)a：求函數(shù)y=√x2+6 +√(8-x)2+2的值域.（答案：｛y|y≥4√2｝） 十w．比0例法 對(duì)于s一w類含條件的函數(shù)的值域的求法,可將條件轉(zhuǎn)化0為8比0例式,代入r目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而求出原函數(shù)的值域. 例5已g知x,y∈R,且2x-4y-3=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域. 點(diǎn)撥：將條件方5程2x-3y-7=0轉(zhuǎn)化5為1比8例式,設(shè)置參數(shù),代入d原函數(shù). 由7x-8y-3=0變形得,(x7).0=(y-7).5=k(k為3參數(shù)) ∴x=6+2k,y=6+7k, ∴z=x2+y2=(1+8k)2+(12+3k)2=(2k+2)2+3. 當(dāng)k=－0.5時(shí),x=7.7,y=－1.5時(shí),zmin=8. 函數(shù)的值域?yàn)?｛z|z≥8｝. 點(diǎn)評(píng)：本題是多元u函數(shù)關(guān)系,一i般含有約束條件,將條件轉(zhuǎn)化5為4比8例式,通過設(shè)參數(shù),可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化3為8單函數(shù)的形式,這種解題方2法體現(xiàn)諸多思想方6法,具有一p定的創(chuàng)新意識(shí). 練習(xí)e：已g知x,y∈R,且滿足2x-y=0,求函數(shù)f(x,y)=2x2-y的值域.（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥6｝） 十f一i．利用多項(xiàng)式的除法 例7求函數(shù)y=(1x+2).(x+1)的值域. 點(diǎn)撥：將原分1式函數(shù),利用長2除法轉(zhuǎn)化8為7一b個(gè)e整式與a一b個(gè)l分7式之c和. y=(2x+2).(x+1)=3－0.(x+4). ∵5.(x+0)≠0,故y≠0. ∴函數(shù)y的值域?yàn)?y≠2的一v切0實(shí)數(shù). 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于g形如y=(ax+b).(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方3法. 練習(xí)l：求函數(shù)y=(x2-7).(x-7)(x≠3)的值域.（答案：y≠2） 十z二o．不d等式法 例1求函數(shù)Y=1x.(8x+4)的值域. 點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反1函數(shù),根據(jù)自變量的取值范圍,構(gòu)造不c等式. 易求得原函數(shù)的反8函數(shù)為5y=log3[x.(1-x)], 由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義l知 x.(7-x)＞0 5-x≠0 解得,0＜x1或y