1、 (x-1)^2+(y+2)^2=25,設(shè)z=√（x^2+y^2）,根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法求條件極值,
φ(x,y)=x^2+y^2-2x+4y-20,z=f(x,y)=√（x^2+y^）,,
x/√x^2+y^2)+λ（2x-2）=0,y/(√x^2+y^2)+λ（2y+4）=0,
λ=-x/ √(x^2+y^2)(2x-2),λ=-y/(x^2+y^2)(2y+4),-x/(2x-2)=-y/(2y+4),y=-2x,x^2-2x-4=0,x=1±√5,y=-2-2√5,或y=-2+√5,z=√[(1+√5)^2+(-2-2√5)^2]=√(30+10√5)= √(25+2*5*√5+5)=5+√5,
z=√(1-√5)^2+(-2+2√5)^2=√(30-10√5)= √(25-2*5*√5+5)=5-√5,相比應(yīng)取5-√5,從空間幾何角度解釋一下,z=√（x^2+y^2）是一個頂點在原點,開口向上且不斷擴大的旋轉(zhuǎn)體,而x^2+y^2-2x+4y-20=0是圓心在（1,-2,z）的圓柱面,它們有一個最低的交點,就是z=5-√5.
2、設(shè)弦中點坐標為M(x,y),則弦另一端坐標為P（2x,2y）,P點在圓上,它就在滿足方程,（2x）^2+(2y)^2-2(2x)=0,4x^2+4y^2-4x=0,化簡得：x^2+y^2-x=0.各條弦中點M的軌跡方程是x^2+y^2-x=0.
3、根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法求條件極值,設(shè)z=（x^2+y^2）,
φ(x,y)=x^2+y^2-2x+4y,2x +λ（2x-2）=0,
2y+λ（2y+4）=0,
消去參數(shù)λ,5x^2-10x=0,x=0或x=2,y=0或y=-4,x=0,y=0不符合題意,x=2,y=-4,代入x-2y 得10,這是一個極大值,從空間幾何角度解釋一下,z=（x^2+y^2）是一個頂點在原點,開口向上且不斷擴大的旋轉(zhuǎn)體,而z=-2x+4y是通過原點的平面,它與與旋轉(zhuǎn)面有一個最高交點,故有一個極大值,即為10.
4、根據(jù)點至直線距離公式：d=| xcosθ+ysinθ-2|/√[（cosθ）^2+(sinθ)^2]= | xcosθ+ysinθ-2|=|√2[sin（π/4）cosθ+cos（π/4）sinθ-2|=|√2sin(θ+π/4)-2|,-√2≤√2sin(θ+π/4)≤√2,要使絕對值最大,應(yīng)取-√2,d=|-√2-2|=2+√2.d的最大值是2+√2.
5、過點(2,4)的直線與拋物線y^2=8x只有一個公共點,即是拋物線的切線,y=±2√(2x),先對正值研究,y’=-√2（x）^(-1/2),而點P（2,4）在拋物線上（正分支）,導數(shù)是切線的斜率,y’=-1,y-4=-(x-2),y=-x+6,而點（2,4）還可對負分支拋物線作一切線,y’=√2（x）^(-1/2),故應(yīng)有二條這樣直線.
因不支持公式編輯器,偏導符號無法打進.