設(shè)a與b是兩個(gè)不相等的有理數(shù),試判斷實(shí)數(shù)（a+根號(hào)2）/（b+根號(hào)2）是有理數(shù)還是無理數(shù)?為什么?要分類討論

數(shù)學(xué)人氣：737 ℃時(shí)間：2019-09-26 01:30:11

優(yōu)質(zhì)解答

假設(shè)（a+√2)/(b+√2)是有理數(shù)
則（a+√2)/(b+√2)=m/n,(m,n是整數(shù),n≠0,m≠n)
∴an+√2n=bm+√2m
∴an-bm=√2m-√2n
∴an-bm=√2(m-n) （#）
∵a,b,m,n是有理數(shù)
∴an-bm是有理數(shù)
∵m-n≠0,m,n是整數(shù),√2是無理數(shù)
∴√2(m-n)是無理數(shù)
那么(#）左邊無有理數(shù),右邊為無理數(shù),矛盾
∴（a+√2)/(b+√2)是有理數(shù)錯(cuò)誤
∴（a+√2)/(b+√2)是無理數(shù)