你需要注意,偏導數(shù)和微分是不同的
(偏z/偏x)和(dz/dx)只是看起來像
它們有一個最大的不同就是,(dz/dx)中的dz和dx分開也是有意義的
但是(偏z/偏x)如果分開就沒有意義了
對z=z(x,y)
dz=(偏z/偏x)dx+(偏z/偏y)dy
所以求偏導數(shù)有兩個基本方法
一是把y當常數(shù),把z看成z(x,y0)=z(x)
這樣做的結果是上式中的dy=0,此時有dz=(偏z/偏x)dx,即dz/dx=(偏z/偏x)
所以用一元函數(shù)求導的方法就可以求出偏導數(shù)
(偏z/偏x)=y/(1+x^2y^2)
第二種方法是完整求出z的全微分,用比較系數(shù)法,其中dx的系數(shù)就是(偏z/偏x)
dz=(ydx+xdy)/(1+x^2y^2)
顯然dx的系數(shù)為(偏z/偏x)=y/(1+x^2y^2)
如果想求dz/dx,就要繼續(xù)把dy化成dx將dy=ydx代入上式
dz=(ydx+xdy)/(1+x^2y^2)=(ydx+xydx)/(1+x^2y^2)=y(1+x)dx/(1+x^2y^2)
所以dz/dx=y(1+x)/(1+x^2y^2)
為了方便起見我沒有把y=e^x代入結果,如果是題目直接問的一般要換,否則不用
對第二道題,由于u沒有具體的表達式,所以沒有辦法用上述的第一種方法來算,只能用第二種方法答案上算的偏z\偏x確實是你的答案。。我不明白的是，“如果想求dz/dx，就要繼續(xù)把dy化成dx將dy=ydx代入上式”，那求偏導的時候為什么不能也把dy帶入式子、合并呢？或者在求導之前，先把y變成e^x，求一元函數(shù)的導數(shù)，得出的答案也不對（當然也有可能是答案錯了。）如果說是因為求偏導要把y看成常數(shù)的話，那第二題也是求偏導，也是用第二種方法，卻可以把dy、dz化成dt、dx然后合并，這是為什么呢。。。不知道我說清楚了沒。。用方法一求偏導數(shù)的時候已經(jīng)假設y為常數(shù),即dy=0,所以不存在使用dy的情況,也不能把y變成e^x,因為e^x不是常數(shù)而用方法二的時候,是用對比系數(shù),要是把dy代進去了意義就不對了第二題所有的函數(shù)都沒有解析式,所以情況稍有不同,計算結果要借助復合函數(shù)我就只說明你不清楚的一點雖然u=f(x,y,z)但是(偏u/偏x)并不等于(偏f/偏x)事實上后者等于前者的一部分因為在計算(偏u/偏x)時是假設dt=0而計算(偏f/偏x)時是假設dy=0且dz=0這里你看題目讓求的是(偏u/偏x)，(偏u/偏t)，所以要把u表示成x和t的函數(shù)，即u=u(x,t)但是我們并沒有u，x，t的關系式，所以我們只能借助復合函數(shù)的微分關系來計算與第一題有解析形式的相比，第一題中的最后結果只能含自變量x而第二題的結果卻含有亂七八糟的其它中間變量的偏導數(shù)