證明這個(gè)函數(shù)的在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù),可導(dǎo),可積省略.
下面證明∫sint/tdt=π/2(積分上限為∞,下限為0）
因?yàn)閟int/t不存在初等函數(shù)的原函數(shù),所以下面引入一個(gè)“收斂因子”e^(-xt)(x>=0),轉(zhuǎn)而討論含參量的積分.
I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (積分上限為∞,下限為0）
顯然：
I(0)=∫sint/tdt(積分上限為∞,下限為0）
I`(x)=∫∂（e^(-xt)sint/t)/∂x dt (積分上限為∞,下限為0）
=∫e^(-xt)sin(t)sint(積分上限為∞,下限為0）
=e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限為∞,下限為0）
=-1/(1+x^2)
從而有
I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1)
|I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt|
≤∫|e^(-xt)sint/t|dt
≤∫e^(-xt)dt
=-(1/x)*e^(-xt)|(對(duì)t的積分原函數(shù),上限為∞,下限為0）
=1/x －－>0 (x－－>+∞)
即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞)
對(duì)（1）式兩端取極限：
lim(I(x))(x－－>+∞)
=-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞)
=-π/2+C
即有0=-π/2+C,可得C=π/2
于是（1）式為
I(x）=-arctan(x)+π/2
limI(x）=lim(-arctan(x)+π/2) (x－－>0)
I(0)=π/2
所以有
I(0)=∫sint/tdt(積分上限為∞,下限為0）=π/2
因?yàn)閟inx/x是偶函數(shù),所以
∫sint/tdt(積分上限為∞,下限為-∞）
=π
這個(gè)地方些數(shù)學(xué)公式很是不方便的.另外也可以用復(fù)變函數(shù)來(lái)求解的.如果有不懂的地方問(wèn)我.