能想到偉達(dá)定理是很好的,但是數(shù)學(xué)中的定理不能胡用,否則很容易發(fā)生你說(shuō)的情況,即變成“死循環(huán)”.
總的來(lái)說(shuō),在做題之前,應(yīng)該先有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí),如：
已知什么,要求什么；
已知的條件可以推出什么；
要求的東西有沒(méi)有什么特點(diǎn),有哪些特點(diǎn)可以和已知的條件或者可求的結(jié)論聯(lián)系起來(lái)；
有沒(méi)有一些經(jīng)典的模型可以用上……等等.
當(dāng)你做完這一步后,你的腦中就應(yīng)該形成一個(gè)初步的思路,一個(gè)大致的解題方向.不要求太精細(xì)、太明確,畢竟數(shù)學(xué)中很多東西是“試”出來(lái)的,一個(gè)方法不行,還可以換另一種方法嘛!
然后你要做的就是順著這條路做,能做出來(lái)最好,做不出來(lái)的話,要回頭重新認(rèn)識(shí)題目,尋找新的突破口.
以“圓錐曲線求過(guò)定點(diǎn)與曲線交點(diǎn)的中點(diǎn)”這類題目為例：
一般這類題目中,定點(diǎn)肯定是已知的,圓錐曲線方程是已知的或很容易求出的.要求的是中點(diǎn)坐標(biāo).
定點(diǎn)坐標(biāo)已知,接下來(lái)肯定就是設(shè)直線方程（注1）.
要求中點(diǎn)坐標(biāo),由于中點(diǎn)坐標(biāo)中有x1+x2、y1+y2的結(jié)構(gòu)出現(xiàn),因此應(yīng)該很容易想到偉達(dá)定理,而要用偉達(dá)定理,就一定要先找到我們所需要的一元二次方程.同時(shí),偉達(dá)定理也把要求的結(jié)論與已知的條件聯(lián)系起來(lái)了.
于是,聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程,得到一個(gè)二次方程①,該方程的解應(yīng)該就是交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)中的一個(gè)（注2）.至此,偉達(dá)定理可以用了.
設(shè)出中點(diǎn)坐標(biāo)（我以(a,b)為例）,則有2a=x1+x2,后者用偉達(dá)定理帶入①方程的系數(shù),即可求出a（應(yīng)該是一個(gè)函數(shù)）；然后,利用直線方程中y與x的關(guān)系即可得到b（a、b應(yīng)該滿足直線方程）.
注：
1、設(shè)方程時(shí)建議用點(diǎn)斜式,設(shè)成y=k(x-p)+q或者x=m(y-p)+q的形式,但是注意要看是否需要討論k、m不存在時(shí)的情況（分別對(duì)應(yīng)垂直于x軸、垂直于y軸的情況）.
2、具體得到的是橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo),要看你得到的①方程是關(guān)于x的方程還是關(guān)于y的方程了.如果是關(guān)于y的方程,則會(huì)先由2b=y1+y2得到b,然后利用直線方程求出a.