首先, 由λ = (n-m)/(a²+b²), mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by+k)可展開為A(x²+y²)+Dx+Ey+F.
其中A = (na²+mb²)/(a²+b²) > 0.
直接驗證D²+E²-4AF > 0較繁, 改用等價條件: A(x²+y²)+Dx+Ey+F = 0上至少有兩個不同點.
而mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by+k) = 0顯然經(jīng)過mx²+ny² = 1與ax+by+c = 0的交點.
由已知, 二者有兩個不同交點, 從而A(x²+y²)+Dx+Ey+F = 0上至少有兩個不同點.
因此曲線族中都是過mx²+ny² = 1與ax+by+c = 0的交點的圓.
反之, 設(shè)A(x²+y²)+Dx+Ey+F = 0是過mx²+ny² = 1與ax+by+c = 0的交點的圓.
不妨設(shè)A = (na²+mb²)/(a²+b²), 則A(x²+y²)+Dx+Ey+F
= mx²+ny²+λ(ax+by)(ax-by)+Dx+Ey+F
= mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by)+D'x+E'y+F' (其中D' = D-acλ, E' = E+bcλ, F' = F+1).
將mx²+ny² = 1與ax+by+c = 0的交點坐標(biāo)代入, 可知兩個交點都滿足D'x+E'y+F' = 0.
而過這兩點的直線為ax+by+c = 0, 因此存在實數(shù)t使D'x+E'y+F' = t(ax+by+c).
由m ≠ n (橢圓), 有λ = (n-m)/(a²+b²) ≠ 0, 可取k = t/λ.
則A(x²+y²)+Dx+Ey+F
= mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by)+D'x+E'y+F'
= mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by)+λk(ax+by+c)
= mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by+k).
即過mx²+ny² = 1與ax+by+c = 0的交點的圓都在該曲線族中.哦，我沒看清，原式中間有減號，看成加了，不好意思。