∵3x^2－xy＋3y^2＝7x＋7y,∴3x^2＋3y^2－6x－6y＝xy＋x＋y,
∴xy＋x＋y＝3（x^2＋y^2－2x－2y）.
∵x、y是整數(shù),∴3（x^2＋y^2－2x－2y）是3的倍數(shù),∴可令xy＋x＋y＝3t,其中t是整數(shù).
顯然有：x＋y＝3t－xy.······①
將①代入到原式中,得：3x^2－xy＋3y^2＝21t－7xy,∴3x^2＋6xy＋3y^2＝21t,
∴x^2＋2xy＋y^2＝7t,∴（x＋y）^2＝7t.
∵7是素數(shù)、t是整數(shù),∴（x＋y）是7的倍數(shù).
令x＋y＝7k,其中k是整數(shù),得：（7k）^2＝7t,∴t＝7k^2.
將x＋y＝7k、t＝7k^2代入到①中,得：7k＝21k^2－xy,∴xy＝21k^2－7k.
∵x＋y＝7k、xy＝21k^2－7k,
∴由韋達(dá)定理可知：x、y是下列關(guān)于z的方程z^2－7kz＋21k^2－7k＝0的根.
自然,z是整數(shù),∴z^2－7kz＋21k^2－7k＝0的判別式不小于0,
∴（－7k）^2－4（21k^2－7k）≧0,∴7k^2－12k^2＋4k≧0,∴5k^2－4k≦0,
∴k（k－4/5）≦0,∴0≦k≦4/5＜1,∴k＝0.
于是：x＋y＝0、xy＝0,∴x＝y(tǒng)＝0.
∴原方程的整數(shù)解是：x＝y(tǒng)＝0.