1、羅爾定理簡述：f(a)=f(b),則在區(qū)間(a,b)上至少有一點ξ,使得f'(ξ)=0
設(shè)f(x)=cosx-xsinx,則F(x)=∫f(x)dx=∫(cosx-xsinx)dx=xcosx+C
F(x)在[0,π/2]上連續(xù),在(0,π/2)上可導(dǎo),且有F(0)=F(π/2)=0+C
∴根據(jù)羅爾定理,在區(qū)間(0,π/2)上,至少存在一點ξ,使得 F'(ξ)=0
而F'(x)=f(x),∴至少存在一點ξ,使得 f(ξ)=cosx-xsinx=0
即 方程cosx-xsinx=0,在(0,π/2)內(nèi)至少有一個實根ξ
2、x^3+ysinx+e^y=1,兩邊取微分,可得
3x^2dx+sinx*dy+ycosxdx+e^y*dy=0
∴dy=(3x^2+ycosx)/(sinx+e^y)*dx
3、y=(sinx)^2,dy=2sinx*dsinx=2sinxcosxdx=sin2xdx
4、y=arctanx,x=ln(1+t^2),是求dy/dt吧?
dy/dx=1/(1+x^2),dx/dt=2t/(1+t^2)
dy/dt=dy/dx*dx/dt=1/(1+x^2)*2t/(1+t)^2
5、y=xe^(2x),dy/dx=e^(2x)+x*e^(2x)*2=(1+2x)e^(2x)
d^2y/dx^2=2e^(2x)+(1+2x)e^(2x)*2=4(1+x)e^(2x)
6、lim[(e^x-1)/sinx] x->0
=lim[x/sinx] 等價無窮小替換：e^x-1~x
=lim[1/(sinx/x)]
=1/lim(sinx/x)
=1/1 直接應(yīng)用極限結(jié)果：lim(sinx/x)=1 (x->0)
=1
7、lim[(5n^2-n)]/[(n+1)(n-3)] n->∞
=lim[(5n^2-n)]/[(n^2-2n-3)]
=lim[(10n-1)/(2n-2)] 洛必達(dá)法則
=lim[10/2]
=5
8、x≥0時,limf(0)=e^0-1=0 x->+0
x-0
f(x)從左右趨近于0時,左右極限相等,故f(x)在0說連續(xù)
9、f(x)=x^3-3x+1,f'(x)=3x^2-3
導(dǎo)數(shù)為0時,有 f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=0
∴解得 x=±1,此時f(1)=1-3+1=-1,f(-1)=-1+3+1=3
∴導(dǎo)數(shù)為0的點為(1,-1),(-1,3)