類比
一、類比
數(shù)學(xué)解題與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)一樣,通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進行探測的基礎(chǔ)上,獲得對有關(guān)問題的結(jié)論或解決方法的猜想,然后再設(shè)法證明或否定猜想,進而達到解決問題的目的．類比、歸納是獲得猜想的兩個重要的方法．
所謂類比,就是由兩個對象的某些相同或相似的性質(zhì),推斷它們在其他性質(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式.類比是一種主觀的不充分的似真推理,因此,要確認(rèn)其猜想的正確性,還須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證．
運用類比法解決問題,其基本過程可用框圖表示如下：
可見,運用類比法的關(guān)鍵是尋找一個合適的類比對象．按尋找類比對象的角度不同,類比法常分為以下三個類型．
（1）降維類比
將三維空間的對象降到二維（或一維）空間中的對象,此種類比方法即為降維類比．
【例1】如圖,過四面體V-ABC的底面上任一點O分別作OA1‖VA,OB1‖VB,OC1‖VC,A1,B1,C1分別是所作直線與側(cè)面交點．
求證：++為定值．
分析 考慮平面上的類似命題：“過△ABC（底）邊 AB上任一點O分別作OA1‖AC,OB1‖BC,分別交BC、AC于A1、B1,求證+為定值”．這一命題利用相似三角形性質(zhì)很容易推出其為定值1．另外,過A、O分別作BC垂線,過B、O分別作AC垂線,則用面積法也不難證明定值為1．于是類比到空間圍形,也可用兩種方法證明其定值為1．
證明：如圖,設(shè)平面OA1 VA∩BC＝M,平面OB1 VB∩AC＝N,平面OC1 VC∩AB=L,則有△MOA1∽△MAV,△NOB1∽△NBV,△LOC1 ∽△ LCV．得
++=++.
在底面△ABC中,由于AM、BN、CL交于一點O,用面積法易證得：
++=1.
∴++=1.
【例2】以棱長為1的正四面體的各棱為直徑作球,S是所作六個球的交集．證明S中沒有一對點的距離大于．
【分析】考慮平面上的類比命題：“邊長為1的正三角形,以各邊為直徑作圓,S‘是所作三個圓的交集”,通過探索S’的類似性質(zhì),以尋求本題的論證思路．如圖,易知S‘包含于以正三角形重心為圓心,以為半徑的圓內(nèi)．因此S’內(nèi)任意兩點的距離不大于．以此方法即可獲得解本題的思路．
證明：如圖,正四面體 ABCD中,M、N分別為BC、AD的中點,G
為△BCD的中心,MN∩AG＝O．顯然O是正四面體ABCD的中心．易知OG=·AG=,并且可以推得以O(shè)為球心、OG為半徑的球內(nèi)任意兩點間的距離不大于,其球O必包含S．現(xiàn)證明如下．
根據(jù)對稱性,不妨考察空間區(qū)域四面體OMCG．設(shè)P為四面體OMCG內(nèi)任一點,且P不在球O內(nèi),現(xiàn)證P亦不在S內(nèi)．
若球O交OC于T點.△TON中,ON=,OT=,cos∠TON=cos(π-∠TOM)=-.由余弦定理：
TN2=ON2+OT2+2ON·OT·=,∴TN=.
又在 Rt△AGD中,N是AD的中點,∴GN=.由GN= NT＝, OG＝OT, ON=ON,得 △GON≌△TON.∴∠TON＝∠GON,且均為鈍角．
于是顯然在△GOC內(nèi),不屬于球O的任何點P,均有∠PON>∠TON,即有PN>TN=,P點在 N為球心,AD為直徑的球外,P點不屬于區(qū)域S．
由此可見,球O包含六個球的交集S,即S中不存在兩點,使其距離大于．
（2）結(jié)構(gòu)類比
某些待解決的問題沒有現(xiàn)成的類比物,但可通過觀察,憑借結(jié)構(gòu)上的相似性等尋找類比問題,然后可通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q,將原問題轉(zhuǎn)化為類比問題來解決．
【例3】任給7個實數(shù)xk（k=1,2,…,7）．證明其中有兩個數(shù)xi,xj,滿足不等式0≤≤·
【分析】若任給7個實數(shù)中有某兩個相等,結(jié)論顯然成立．若7個實數(shù)互不相等,則難以下手．但仔細觀察可發(fā)現(xiàn)：與兩角差的正切公式在結(jié)構(gòu)上極為相似,故可選后者為類比物,并通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q將其轉(zhuǎn)化為類比問題．作代換：xk=tgαk（k ＝l,2,…,7）,證明必存在αi,αj,滿足不等式0≤tg(αi-αj)≤·
證明：令xk=tgαk（k ＝l,2,…,7）,αk∈（-,）,則原命題轉(zhuǎn)化為：證明存在兩個實數(shù)αi,αj∈（-,）,滿足0≤tg(αi-αj)≤·
由抽屜原則知,αk中必有 4個在[0,）中或在（-,0）中,不妨設(shè)有4個在[0,）中．注意到tg0＝0,tg=,而在[0,）內(nèi),tgx是增函數(shù),故只需證明存在αi,αj,使0<αi-αj <即可.為此將[0,）分成三個小區(qū)間：[0,]、（,]、（,）.又由抽屜原則知,4個αk中至少有2個比如αi,αj同屬于某一區(qū)間,不妨設(shè)αi>αj,則0≤αi-αj ≤,故0≤tg(αi-αj)≤·這樣,與相應(yīng)的xi=tgαi、xj=tgαj,便有0≤≤·
（3）簡化類比
簡化類比,就是將原命題類比到比原命題簡單的類比命題,通過類比命題解決思路和方法的啟發(fā),尋求原命題的解決思路與方法．比如可先將多元問題類比為少元問題,高次問題類比到低次問題,普遍問題類比為特殊問題等．
【例4】已知xi≥0（i＝1,2,…,n）,且xl+x2+…+xn=1.
求證：1≤++…+≤．
【分析】我們可先把它類比為一簡單的類比題：“已知xl≥0,x2≥0,且xl+x2 =1,求證1≤+≤”．本類比題的證明思路為：∵2≤xl+x2＝l,∴0≤2≤1,則1≤xl+x2+2≤2,即1≤(+)2≤2,∴1≤+≤．這一證明過程中用到了基本不等式和配方法．這正是要尋找的證明原命題的思路和方法．
證明：由基本不等式有0≤2≤xi+xj,則
0≤2≤(n-1)( xl+x2+…+xn)=n-1
∴1≤xl+x2+…+xn +2≤n,即1≤(++…+)2≤n
∴1≤++…+≤．
所謂歸納,是指通過對特例的分析來引出普遍結(jié)論的一種推理形式．它由推理的前提和結(jié)論兩部分構(gòu)成：前提是若干已知的個別事實,是個別或特殊的判斷、陳述,結(jié)論是從前提中通過推理而獲得的猜想,是普遍性的陳述、判斷．其思維模式是：設(shè)Mi（i＝1,2,…,n）是要研究對象M的特例或子集,若Mi（i＝1,2,…,n）具有性質(zhì)P,則由此猜想M也可能具有性質(zhì)P．
如果＝M,這時的歸納法稱為完全歸納法．由于它窮盡了被研究對象的一切特例,因而結(jié)論是正確可靠的．完全歸納法可以作為論證的方法,它又稱為枚舉歸納法．
如果是M的真子集,這時的歸納法稱為不完全歸納法．由于不完全歸納法沒有窮盡全部被研究的對象,得出的結(jié)論只能算猜想,結(jié)論的正確與否有待進一步證明或舉反例．
本節(jié)主要介紹如何運用不完全歸納法獲得猜想,對于完全歸納法,將在以后結(jié)合有關(guān)內(nèi)容（如分類法）進行講解．
【例5】證明：任何面積等于1的凸四邊形的周長及兩條對角線的長度之和不小于4十．
【分析】四邊形的周長和對角線的長度和混在一起令人棘手,我們可以從特例考察起：先考慮面積為1的正方形,其周長恰為4,對角錢之和為2即．其次考察面積為1的菱形,若兩對角線長記為l1、l2,那么菱形面積S=l1·l2,知
l1+ l2≥2=2=,菱形周長： l＝4≥2=4.
由此,可以猜想：對一般的凸四邊形也可將其周長和對角線長度和分開考慮．
【證明】設(shè)ABCD為任意一個面積為1的凸四邊形,其有關(guān)線段及角標(biāo)如圖．則
SABCD= (eg+gf+fh+he)sinα
≤ (e+f)(g+h)≤,
∴e+f+g+h≥2,即對角線長度之和不小于．
∴a＋b＋c＋d≥4,即周長不小于4．
綜上所述,結(jié)論得證,
【例 6】在一直線上從左到右依次排列著 1988個點P1,P2,…,P1988,且Pk是線段Pk-1Pk+1的k等分點中最靠近Pk+1的那個點（2≤k≤1988）,P1P2=1,
P1987 P1988=l．求證：2l<3-1984.
【分析】本題初看復(fù)雜,難以入手．不妨先從特殊值出發(fā),通過特殊值的計算,以便分析、歸納出一般性的規(guī)律．
當(dāng)k=1時,P1P2=1（已知）；當(dāng)k= 2時, P2是P1P3的中點,故P2P3= P1P2= 1；當(dāng)k=3時, P3是P2P4的三等分點中最靠近的那個分點,即P3P4= P2P4= ( P2P3+ P3P4) =P2P3+ P3P4,故P3P4= P2P3=①
由此可推得4 P5=×②,P5P6=××③
由①、②、③,可歸納以下猜想：
PkPk+1=Pk-1Pk.
【證明】
于是有：
令k=1987,則有
故2l<3-1984.
二、類比
類比 (Qiys)
伊斯蘭教法學(xué)概念和立法原則之一.與《古蘭經(jīng)》、圣訓(xùn)和公議并稱為教法的4個主要淵源和理論基礎(chǔ).阿拉伯語“格亞斯”的意譯,中國穆斯林學(xué)者譯作“比論”、“援例”.系通過比較推導(dǎo)出結(jié)論的一種方法.通常是從一般推出特殊,從已知的前提或?qū)б蚧蚴挛镩g的相似性或本質(zhì)聯(lián)系推演出未知的判斷或結(jié)論.亦稱類比推理、類比判斷.采取類比法是為了解決無經(jīng)、訓(xùn)明文作依據(jù)的新問題,即把有關(guān)律例擴及經(jīng)、訓(xùn)未涵蓋的領(lǐng)域中去,以求得結(jié)論,形成新的判例.哈里發(fā)歐麥爾在給艾布·穆薩·艾什爾里的信中曾提出：“對于真主的經(jīng)典和先知的訓(xùn)示中未曾提到的事情,你應(yīng)先去了解類似事例,然后進行類比.”在伊斯蘭教發(fā)展的頭3個世紀(jì)里,遜尼派除罕百里教法學(xué)派外,一般都程度不同地運用“類比”原則創(chuàng)制律例,由有限的教法經(jīng)文推論、提出了許多教法性見解和創(chuàng)制意見,豐富、補充了教法的內(nèi)容,為教法能以適應(yīng)現(xiàn)實、解決實際問題開辟了廣闊途徑.扎希里和賈法里等教法學(xué)派則拒絕使用“類比”原則.早期的類比方法較簡單,多以當(dāng)?shù)啬滤沽值拿袼琢?xí)慣或教法學(xué)家的個人意見為依據(jù),其前提和結(jié)論不一定有內(nèi)在聯(lián)系.8世紀(jì)下半葉以后,教法學(xué)逐漸發(fā)展并系統(tǒng)化、規(guī)范化.著名大法學(xué)家沙斐儀提出了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)念惐扰袛喾椒?；逐漸代替了被認(rèn)為帶有主觀隨意性的意見判斷,成為一種公認(rèn)的規(guī)范性的方法.其基本要求是：類比必須是在無經(jīng)、訓(xùn)明文可循的情況下,才準(zhǔn)許以類似的經(jīng)、訓(xùn)原文或已知的公議為前提,通過比較同原判例的聯(lián)系,找出共同“基因”('Illah),取得符合經(jīng)、訓(xùn)本意的結(jié)論,然后制定出具有相應(yīng)效力的新律例.在比較、推演中,只能以帶有普遍意義的原判例為前提,特殊的例外和源自類比判斷的間接結(jié)論,不得作為類比的依據(jù).一項類比如有幾個意義相近的原判例,則以意義最相近的原判例為前提,但亦容有不同的前提和結(jié)論.一項類比一經(jīng)權(quán)威教法學(xué)家們的公議所核準(zhǔn),即取得了社會的認(rèn)可,成為不謬的、應(yīng)予遵循的律例,不得隨意更改.如教法學(xué)家以《古蘭經(jīng)》第5章第90節(jié)禁止飲酒的規(guī)定為例證指出,禁止飲酒是因為酒醉能使人失去理智,故他們援用此例制定了飲用一切醉人并能使人失去理智的東西為非法的律例.近代以來,出自社會法制改革的需要,伊斯蘭國·家的現(xiàn)代派學(xué)者一般都注重“創(chuàng)制”(伊智提哈德),主張按時代精神更靈活地解釋教法原則,在方法上已突破傳統(tǒng)的類比法,成為一種新趨向.