證明:設(shè)兩平行線為a,b,平面為α.
(1)a,b都平行于α或都在α內(nèi),或一條與α平行,另一條在α內(nèi)時(shí),則a,b和α所成的角都等于0°,所以相等;
(2)a,b都和α垂直,則a,b和α所成的角都等于90°,所以相等;
(3)a,b和α斜交.設(shè)a∩α=A,b∩α=B,在a,b上分別取點(diǎn)C,D,使C,D在α的同側(cè),作CE⊥α于E,DF⊥α于F,則CE‖DF,連結(jié)AE,BF,則直線AE,BF分別是a,b在α內(nèi)的射影,所以∠CAE,∠DBF分別是a,b和α所成的角.
∵a‖b,CE‖DF,且∠ACE和∠BDF的方向相同,
∴∠ACE=∠BDF,∴∠CAE=∠DBF,即斜線a,b和α所成的角相等.
綜上討論得:兩條平行線和同一平面所成的角相等.