對數(shù)函數(shù)
對數(shù)函數(shù)的一般形式為 ,它實際上就是指數(shù)函數(shù) 的反函數(shù).因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定,同樣適用于對數(shù)函數(shù).
右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：
可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函數(shù).
（1）對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合.
（2）對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合.
（3）函數(shù)總是通過（1,0）這點.
（4）a大于1時,為單調(diào)遞增函數(shù),并且上凸；a小于1大于0時,函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),并且下凹.
（5）顯然對數(shù)函數(shù)無界.
指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)的一般形式為 ,從上面我們對于冪函數(shù)的討論就可以知道,要想使得x能夠取整個實數(shù)集合為定義域,則只有使得
如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況.
可以看到：
（1） 指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合,這里的前提是a大于0,對于a不大于0的情況,則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間,因此我們不予考慮.
（2） 指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合.
（3） 函數(shù)圖形都是下凹的.
（4） a大于1,則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；a小于1大于0,則為單調(diào)遞減的.
（5） 可以看到一個顯然的規(guī)律,就是當a從0趨向于無窮大的過程中（當然不能等于0）,函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置,趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置.其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置.
（6） 函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交.
（7） 函數(shù)總是通過（0,1）這點.
（8） 顯然指數(shù)函數(shù)無界.
奇偶性
注圖：（1）為奇函數(shù)（2）為偶函數(shù)
1．定義
一般地,對于函數(shù)f(x)
（1）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=－f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).
（2）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).
（3）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立,那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),稱為既奇又偶函數(shù).
（4）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立,那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),稱為非奇非偶函數(shù).
說明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì),對整個定義域而言
②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱,如果一個函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱,則這個函數(shù)一定不是奇（或偶）函數(shù).
（分析：判斷函數(shù)的奇偶性,首先是檢驗其定義域是否關(guān)于原點對稱,然后再嚴格按照奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、整理、再與f(x)比較得出結(jié)論）
③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義
2．奇偶函數(shù)圖像的特征：
定理 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱圖表,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對稱圖形.
f(x)為奇函數(shù)《＝＝》f(x)的圖像關(guān)于原點對稱
點（x,y）→（-x,-y）
奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增,則在它的對稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增.
偶函數(shù) 在某一區(qū)間上單調(diào)遞增,則在它的對稱區(qū)間上單調(diào)遞減.
3. 奇偶函數(shù)運算
(1) . 兩個偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).
(2) . 兩個奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).
(3) . 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).
(4) . 兩個偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
(5) . 兩個奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
(6) . 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).
定義域
（高中函數(shù)定義）設(shè)A,B是兩個非空的數(shù)集,如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),x屬于集合A.其中,x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；
值域
名稱定義
函數(shù)中,應(yīng)變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的值域函數(shù)的值域,在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的集合
常用的求值域的方法
（1）化歸法；（2）圖象法（數(shù)形結(jié)合）,
（3）函數(shù)單調(diào)性法,
（4）配方法,（5）換元法,（6）反函數(shù)法（逆求法）,（7）判別式法,（8）復(fù)合函數(shù)法,（9）三角代換法,（10）基本不等式法等
關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)
定義域、對應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個基本“元件”.平時數(shù)學(xué)中,實行“定義域優(yōu)先”的原則,無可置疑.然而事物均具有二重性,在強化定義域問題的同時,往往就削弱或談化了,對值域問題的探究,造成了一手“硬”一手“軟”,使學(xué)生對函數(shù)的掌握時好時壞,事實上,定義域與值域二者的位置是相當?shù)?絕不能厚此薄皮,何況它們二者隨時處于互相轉(zhuǎn)化之中（典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化）.如果函數(shù)的值域是無限集的話,那么求函數(shù)值域不總是容易的,反靠不等式的運算性質(zhì)有時并不能奏效,還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的取值情況.才能獲得正確答案,從這個角度來講,求值域的問題有時比求定義域問題難,實踐證明,如果加強了對值域求法的研究和討論,有利于對定義域內(nèi)函的理解,從而深化對函數(shù)本質(zhì)的認識.
“范圍”與“值域”相同嗎?
“范圍”與“值域”是我們在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的兩個概念,許多同學(xué)常常將它們混為一談,實際上這是兩個不同的概念.“值域”是所有函數(shù)值的集合（即集合中每一個元素都是這個函數(shù)的取值）,而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都滿足這個條件）.也就是說:“值域”是一個“范圍”,而“范圍”卻不一定是“值域”.