給你一個不是很嚴密的做法,嚴格做法在同濟大學高等數學教材中有（下冊二重積分極坐標部分）
設u=∫[-∞,+∞] e^(-t^2)dt
兩邊平方：下面省略積分限
u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于積分可以隨便換積分變量
=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 這樣變成一個二重積分
=∫∫ e^(-x^2-y^2)dxdy 積分區(qū)域為x^2+y^2=R^2 R-->+∞
用極坐標
=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ
=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取極限
=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)
=π[1-e^(-R^2)] 然后R-->+∞取極限
=π
這樣u^2=π,因此u=√π
本題不嚴密處在于,化為二重積分時,其實不應該是一個圓形區(qū)域,而應該是矩形區(qū)域,書上有這個處理方法,利用夾逼準則將矩形區(qū)域夾在兩個圓形區(qū)域之間來解決這個問題.