人類對一元二次方程的研究經歷了漫長的歲月,早在公元前2000年左右,居住在底格里斯河和幼法拉底河的古巴比倫人已經能解一些一元二次方程.而在中國,《九章算術》“勾股”章中就有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸,兩隅相去適一丈,問戶高、廣各幾何?.”之后的丟番圖（古代希臘數學家）,歐幾里德（古代希臘數學家）,趙爽,張遂,楊輝對一元二次方程的貢獻更大
貝祖（Bezout Etienne 1730.3.31~1783.9.27）法國數學家.少年時酷愛數學,主要從事方程論研究.他是最先認識到行列式價值的數學家之一.最早證明了齊次線性方程組有非零解的條件是系數行列式等于零.他在其第一篇論文《幾種類型的方程》中用消元法將只含一個未知數的n次方程問題與解聯立方程組問題聯系起來,提供了某些n次方程的解法.他還用消元法解次數高于1的兩個二元方程,并證明了關于方程次數的貝祖定理.
1086～1093年,中國宋朝的沈括在《夢溪筆談》中提出“隙積術”和“會圓術”,開始高階等差級數的研究.
十一世紀,阿拉伯的阿爾·卡爾希第一次解出了二次方程的根.
十一世紀,阿拉伯的卡牙姆完成了一部系統研究三次方程的書《代數學》.
十一世紀,埃及的阿爾·海賽姆解決了“海賽姆”問題,即要在圓的平面上兩點作兩條線相交于圓周上一點,并與在該點的法線成等角.
十一世紀中葉,中國宋朝的賈憲在《黃帝九章算術細草》中,創(chuàng)造了開任意高次冪的“增乘開方法”,并列出了二項式定理系數表,這是現代“組合數學”的早期發(fā)現.后人所稱的“楊輝三角”即指此法.
十二世紀,印度的拜斯迦羅著《立刺瓦提》一書,這是東方算術和計算方面的重要著作.
1202年,意大利的裴波那契發(fā)表《計算之書》,把印度—阿拉伯記數法介紹到西方.
1220年,意大利的裴波那契發(fā)表《幾何學實習》一書,介紹了許多阿拉伯資料中沒有的示例.
1247年,中國宋朝的秦九韶著《數書九章》共十八卷,推廣了“增乘開方法”.書中提出的聯立一次同余式的解法,比西方早五百七十余年.
1248年,中國宋朝的李治著《測圓海鏡》十二卷,這是第一部系統論述“天元術”的著作.
1261年,中國宋朝的楊輝著《詳解九章算法》,用“垛積術”求出幾類高階等差級數之和.
1274年,中國宋朝的楊輝發(fā)表《乘除通變本末》,敘述“九歸”捷法,介紹了籌算乘除的各種運算法.
1280年,元朝《授時歷》用招差法編制日月的方位表(中國 王恂、郭守敬等).
十四世紀中葉前,中國開始應用珠算盤.
1303年,中國元朝的朱世杰著《四元玉鑒》三卷,把“天元術”推廣為“四元術”.
1464年,德國的約·米勒在《論各種三角形》(1533年出版)中,系統地總結了三角學.
1494年,意大利的帕奇歐里發(fā)表《算術集成》,反映了當時所知道的關于算術、代數和三角學的知識.
1545年,意大利的卡爾達諾、費爾諾在《大法》中發(fā)表了求三次方程一般代數解的公式.
1550～1572年,意大利的邦別利出版《代數學》,其中引入了虛數,完全解決了三次方程的代數解問題.
1591年左右,德國的韋達在《美妙的代數》中首次使用字母表示數字系數的一般符號,推進了代數問題的一般討論.
1596～1613年,德國的奧脫、皮提斯庫斯完成了六個三角函數的每間隔10秒的十五位小數表.
1614年,英國的耐普爾制定了對數.
1615年,德國的開卜勒發(fā)表《酒桶的立體幾何學》,研究了圓錐曲線旋轉體的體積.
1635年,意大利的卡瓦列利發(fā)表《不可分連續(xù)量的幾何學》,書中避免無窮小量,用不可分量制定了一種簡單形式的微積分.
1637年,法國的笛卡爾出版《幾何學》,提出了解析幾何,把變量引進數學,成為“數學中的轉折點”.
1638年,法國的費爾瑪開始用微分法求極大、極小問題.
1638年,意大利的伽里略發(fā)表《關于兩種新科學的數學證明的論說》,研究距離、速度和加速度之間的關系,提出了無窮集合的概念,這本書被認為是伽里略重要的科學成就.
1639年,法國的迪沙格發(fā)表了《企圖研究圓錐和平面的相交所發(fā)生的事的草案》,這是近世射影幾何學的早期工作.
1641年,法國的帕斯卡發(fā)現關于圓錐內接六邊形的“帕斯卡定理”.
1649年,法國的帕斯卡制成帕斯卡計算器,它是近代計算機的先驅.
1654年,法國的帕斯卡、費爾瑪研究了概率論的基礎.
1655年,英國的瓦里斯出版《無窮算術》一書,第一次把代數學擴展到分析學.
1657年,荷蘭的惠更斯發(fā)表了關于概率論的早期論文《論機會游戲的演算》.
1658年,法國的帕斯卡出版《擺線通論》,對“擺線”進行了充分的研究.
1665～1676年,牛頓(1665～1666年)先于萊布尼茨(1673～1676年)制定了微積分,萊布尼茨(1684～1686年)早于牛頓(1704～1736年)發(fā)表了微積分.
1669年,英國的牛頓、雷夫遜發(fā)明解非線性方程的牛頓—雷夫遜方法.
1670年,法國的費爾瑪提出“費爾瑪大定理”.
1673年,荷蘭的惠更斯發(fā)表了《擺動的時鐘》,其中研究了平面曲線的漸屈線和漸伸線.
1684年,德國的萊布尼茨發(fā)表了關于微分法的著作《關于極大極小以及切線的新方法》.
1686年,德國的萊布尼茨發(fā)表了關于積分法的著作.
1691年,瑞士的約·貝努利出版《微分學初步》,這促進了微積分在物理學和力學上的應用及研究.
1696年,法國的洛比達發(fā)明求不定式極限的“洛比達法則”.
1697年,瑞士的約·貝努利解決了一些變分問題,發(fā)現最速下降線和測地線.
1704年,英國的牛頓發(fā)表《三次曲線枚舉》《利用無窮級數求曲線的面積和長度》《流數法》.
1711年,英國的牛頓發(fā)表《使用級數、流數等等的分析》.
1713年,瑞士的雅·貝努利出版了概率論的第一本著作《猜度術》.
1715年,英國的布·泰勒發(fā)表《增量方法及其他》.
1731年,法國的克雷洛出版《關于雙重曲率的曲線的研究》,這是研究空間解析幾何和微分幾何的最初嘗試.
1733年,英國的德·勒哈佛爾發(fā)現正態(tài)概率曲線.
1734年,英國的貝克萊發(fā)表《分析學者》,副標題是《致不信神的數學家》,攻擊牛頓的《流數法》,引起所謂第二次數學危機.
1736年,英國的牛頓發(fā)表《流數法和無窮級數》.
1736年,瑞士的歐拉出版《力學、或解析地敘述運動的理論》,這是用分析方法發(fā)展牛頓的質點動力學的第一本著作.
1742年,英國的麥克勞林引進了函數的冪級數展開法.
1744年,瑞士的歐拉導出了變分法的歐拉方程,發(fā)現某些極小曲面.
1747年,法國的達朗貝爾等由弦振動的研究而開創(chuàng)偏微分方程論.
1748年,瑞士的歐拉出版了系統研究分析數學的《無窮分析概要》,這是歐拉的主要著作之一.
1755～1774年,瑞士的歐拉出版了《微分學》和《積分學》三卷.書中包括微分方程論和一些特殊的函數.
1760～1761年,法國的拉格朗日系統地研究了變分法及其在力學上的應用.
1767年,法國的拉格朗日發(fā)現分離代數方程實根的方法和求其近似值的方法.
1770～1771年,法國的拉格朗日把置換群用于代數方程式求解,這是群論的開始.
1772年,法國的拉格朗日給出三體問題最初的特解.
1788年,法國的拉格朗日出版了《解析力學》,把新發(fā)展的解析法應用于質點、剛體力學.
1794年,法國的勒讓德出版流傳很廣的初等幾何學課本《幾何學概要》.
1794年,德國的高斯從研究測量誤差,提出最小二乘法,于1809年發(fā)表.
1797年,法國的拉格朗日發(fā)表《解析函數論》,不用極限的概念而用代數方法建立微分學.
1799年,法國的蒙日創(chuàng)立畫法幾何學,在工程技術中應用頗多.
1799年,德國的高斯證明了代數學的一個基本定理：實系數代數方程必有根.
微分方程:大致與微積分同時產生 .事實上,求y′＝f(x)的原函數問題便是最簡單的微分方程.I.牛頓本人已經解決了二體問題：在太陽引力作用下,一個單一的行星的運動.他把兩個物體都理想化為質點,得到3個未知函數的3個二階方程組,經簡單計算證明,可化為平面問題,即兩個未知函數的兩個二階微分方程組.用現在叫做“首次積分”的辦法,完全解決了它的求解問題.17世紀就提出了彈性問題,這類問題導致懸鏈線方程、振動弦的方程等等.總之,力學、天文學、幾何學等領域的許多問題都導致微分方程.在當代,甚至許多社會科學的問題亦導致微分方程,如人口發(fā)展模型、交通流模型…….因而微分方程的研究是與人類社會密切相關的.當初,數學家們把精力集中放在求微分方程的通解上,后來證明這一般不可能,于是逐步放棄了這一奢望,而轉向定解問題：初值問題、邊值問題、混合問題等.但是,即便是一階常微分方程,初等解(化為積分形式)也被證明不可能,于是轉向定量方法（數值計算）、定性方法,而這首先要解決解的存在性、唯一性等理論上的問題.
方程對于學過中學數學的人來說是比較熟悉的；在初等數學中就有各種各樣的方程,比如線性方程、二次方程、高次方程、指數方程、對數方程、三角方程和方程組等等.這些方程都是要把研究的問題中的已知數和未知數之間的關系找出來,列出包含一個未知數或幾個未知數的一個或者多個方程式,然后取求方程的解.
但是在實際工作中,常常出現一些特點和以上方程完全不同的問題.比如：物質在一定條件下的運動變化,要尋求它的運動、變化的規(guī)律；某個物體在重力作用下自由下落,要尋求下落距離隨時間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動機推動下在空間飛行,要尋求它飛行的軌道,等等.
物質運動和它的變化規(guī)律在數學上是用函數關系來描述的,因此,這類問題就是要去尋求滿足某些條件的一個或者幾個未知函數.也就是說,凡是這類問題都不是簡單地去求一個或者幾個固定不變的數值,而是要求一個或者幾個未知的函數.
解這類問題的基本思想和初等數學解方程的基本思想很相似,也是要把研究的問題中已知函數和未知函數之間的關系找出來,從列出的包含未知函數的一個或幾個方程中去求得未知函數的表達式.但是無論在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質等方面,都和初等數學中的解方程有許多不同的地方.
在數學上,解這類方程,要用到微分和導數的知識.因此,凡是表示未知函數的導數以及自變量之間的關系的方程,就叫做微分方程.
微分方程差不多是和微積分同時先后產生的,蘇格蘭數學家耐普爾創(chuàng)立對數的時候,就討論過微分方程的近似解.牛頓在建立微積分的同時,對簡單的微分方程用級數來求解.后來瑞士數學家雅各布•貝努利、歐拉、法國數學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論.
常微分方程的形成與發(fā)展是和力學、天文學、物理學,以及其他科學技術的發(fā)展密切相關的.數學的其他分支的新發(fā)展,如復變函數、李群、組合拓撲學等,都對常微分方程的發(fā)展產生了深刻的影響,當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具.
牛頓研究天體力學和機械力學的時候,利用了微分方程這個工具,從理論上得到了行星運動規(guī)律.后來,法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現的海王星的位置.這些都使數學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量.
微分方程的理論逐步完善的時候,利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律,只要列出相應的微分方程,有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的數學分支.