樓主的這個(gè)問題比較難,一般我們都問它們的電場或者電勢等于多少,而樓主卻問電場線的方程.電場強(qiáng)度矢量給出了電場線的一個(gè)切線方向,樓主的問題從數(shù)學(xué)上說,就是已知曲線每一點(diǎn)的切線方向場,求曲線方程的問題.看了下樓主的資料,樓主是大學(xué)生嗎?如果沒有高等數(shù)學(xué)知識(shí)這個(gè)問題肯定是求不了的.
先說下最直接的思路.樓主問的是一個(gè)二維問題,就在xoy平面上就可以了.我們求電場線曲線不好求,但是我們知道,和電場線處處垂直的線叫等勢線（就是電勢相等的線）,這個(gè)好求,只要把電勢φ求出來,讓?duì)?x,y)=C（常數(shù)）就是所有等勢線構(gòu)成的集合.然后問題就歸結(jié)到如何求φ=C曲線的垂線.我們知道,φ=C是一族曲線（因?yàn)镃是任意常數(shù),每個(gè)C都是一條曲線）,要去求另一族曲線ψ=C處處和這個(gè)等勢線垂直,這在數(shù)學(xué)上有個(gè)專有名詞,叫“正交曲線族問題”.大致做法是由φ(x,y)=C利用隱函數(shù)求導(dǎo)法,求出dy/dx導(dǎo)數(shù),它等于f(x,y),然后利用垂直線斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系,對(duì)于ψ(x,y)=C應(yīng)該滿足dy/dx=-1/f,那么這就是個(gè)一階微分方程,解出這個(gè)微分方程的通積分就是ψ(x,y)=C.
上面數(shù)學(xué)的抽象問題說完了,如果具體到電場,設(shè)正電荷Q在(a,0),負(fù)電荷-Q在(-a,0)那么整體電勢為二者疊加φ=kQ/√[(x-a)²+y²]-kQ/√[(x+a)²+y²]（√表示開根號(hào),/是分?jǐn)?shù)線,比如a/b代表b分之a(chǎn)）
由φ=C利用隱函數(shù)求導(dǎo)法兩邊對(duì)x求導(dǎo)得到y(tǒng)'=……（式子很復(fù)雜）然后把它取負(fù)倒數(shù),解微分方程,可以得到電場線的方程.我不具體算了,如果樓主非要算,我明天抽時(shí)間幫樓主算一下,這不一定是能用初等式子表示的（不過也沒準(zhǔn)可以）……
最后說一句,這個(gè)問題在物理上意義不大,最多算個(gè)數(shù)學(xué)游戲.物理上真正關(guān)心的是有物理意義的量,比如具體每一點(diǎn)的電場強(qiáng)度,電勢等,具體電場線是什么形狀y=y(x)這與物理關(guān)系不大.