宮格只要不是2和6的都可以填出!
奇階幻方
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),我們稱幻方為奇階幻方.可以用Merzirac法與loubere法實(shí)現(xiàn),根據(jù)我的研究,發(fā)現(xiàn)用國(guó)際象棋之馬步也可構(gòu)造出更為神奇的奇幻方,故命名為horse法.
偶階幻方
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),我們稱幻方為偶階幻方.當(dāng)n可以被4整除時(shí),我們稱該偶階幻方為雙偶幻方；當(dāng)n不可被4整除時(shí),我們稱該偶階幻方為單偶幻方.可用了Hire法、Strachey以及YinMagic將其實(shí)現(xiàn),Strachey為單偶模型,我對(duì)雙偶（4m階）進(jìn)行了重新修改,制作了另一個(gè)可行的數(shù)學(xué)模型,稱之為Spring.YinMagic是我于2002年設(shè)計(jì)的模型,他可以生成任意的偶階幻方.
在填幻方前我們做如下約定：如填定數(shù)字超出幻方格范圍,則把幻方看成是可以無(wú)限伸展的圖形,如下圖：
Merzirac法生成奇階幻方
在第一行居中的方格內(nèi)放1,依次向左上方填入2、3、4…,如果左上方已有數(shù)字,則向下移一格繼續(xù)填寫.如下圖用Merziral法生成的5階幻方：
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
loubere法生成奇階幻方
在居中的方格向上一格內(nèi)放1,依次向左上方填入2、3、4…,如果左上方已有數(shù)字,則向上移兩格繼續(xù)填寫.如下圖用Louberel法生成的7階幻方：
30 39 48 1 10 19 28
38 47 7 9 18 27 29
46 6 8 17 26 35 37
5 14 16 25 34 36 45
13 15 24 33 42 44 4
21 23 32 41 43 3 12
22 31 40 49 2 11 20
horse法生成奇階幻方
先在任意一格內(nèi)放入1.向左走1步,并下走2步放入2(稱為馬步),向左走1步,并下走2步放入3,依次類推放到n.在n的下方放入n+1（稱為跳步）,再按上述方法放置到2n,在2n的下邊放入2n+1.如下圖用Horse法生成的5階幻方：
77 58 39 20 1 72 53 34 15
6 68 49 30 11 73 63 44 25
16 78 59 40 21 2 64 54 35
26 7 69 50 31 12 74 55 45
36 17 79 60 41 22 3 65 46
37 27 8 70 51 32 13 75 56
47 28 18 80 61 42 23 4 66
57 38 19 9 71 52 33 14 76
67 48 29 10 81 62 43 24 5
一般的,令矩陣[1,1]為向右走一步,向上走一步,[-1,0]為向左走一步.則馬步可以表示為2X+Y,{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}.對(duì)于2X+Y相應(yīng)的跳步可以為2Y,-Y,X,-Y,X,3X,3X+3Y.上面的的是X型跳步.Horse法生成的幻方為魔鬼幻方.
Hire法生成偶階幻方
將n階幻方看作一個(gè)矩陣,記為A,其中的第i行j列方格內(nèi)的數(shù)字記為a(i,j).在A內(nèi)兩對(duì)角線上填寫1、2、3、……、n,各行再填寫1、2、3、……、n,使各行各列數(shù)字之和為n*(n+1)/2.填寫方法為:第1行從n到1填寫,從第2行到第n/2行按從1到進(jìn)行填寫(第2行第1列填n,第2行第n列填1),從第n/2+1到第n行按n到1進(jìn)行填寫,對(duì)角線的方格內(nèi)數(shù)字不變.如下所示為6階填寫方法：
1 5 4 3 2 6
6 2 3 4 5 1
1 2 3 4 5 6
6 5 3 4 2 1
6 2 4 3 5 1
1 5 4 3 2 6
如下所示為8階填寫方法（轉(zhuǎn)置以后）：
1 8 1 1 8 8 8 1
7 2 2 2 7 7 2 7
6 3 3 3 6 3 6 6
5 4 4 4 4 5 5 5
4 5 5 5 5 4 4 4
3 6 6 6 3 6 3 3
2 7 7 7 2 2 7 2
8 1 8 8 1 1 1 8
將A上所有數(shù)字分別按如下算法計(jì)算,得到B,其中b(i,j)=n×（a(i,j)－1）.則AT＋B為目標(biāo)幻方
（AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣）.如下圖用Hire法生成的8階幻方：
1 63 6 5 60 59 58 8
56 10 11 12 53 54 15 49
41 18 19 20 45 22 47 48
33 26 27 28 29 38 39 40
32 39 38 36 37 27 26 25
24 47 43 45 20 46 18 17
16 50 54 53 12 11 55 9
57 7 62 61 4 3 2 64
Strachey法生成單偶幻方
將n階單偶幻方表示為4m+2階幻方.將其等分為四分,成為如下圖所示A、B、C、D四個(gè)2m+1階奇數(shù)幻方.
A C
D B
A用1至2m+1填寫成(2m+1)2階幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填寫成2m+1階幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填寫成2m+1階幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填寫成2m+1階幻方；在A中間一行取m個(gè)小格,其他行左側(cè)邊緣取m-1列,將其與D相應(yīng)方格內(nèi)交換；B與C接近右側(cè)m-1列相互交換.如下圖用Strachey法生成的6階幻方：
35 1 6 26 19 24
3 32 7 21 23 25
31 9 2 22 27 20
8 28 33 17 10 15
30 5 34 12 14 16
4 36 29 13 18 11
Spring法生成以偶幻方
將n階雙偶幻方表示為4m階幻方.將n階幻方看作一個(gè)矩陣,記為A,其中的第i行j列方格內(nèi)的數(shù)字記為a(i,j).
先令a(i,j)=(i-1)*n+j,即第一行從左到可分別填寫1、2、3、……、n；即第二行從左到可分別填寫n+1、n+2、n+3、……、2n；…………之后進(jìn)行對(duì)角交換.對(duì)角交換有兩種方法：
方法一；將左上區(qū)域i+j為偶數(shù)的與幻方內(nèi)以中心點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)的右下角對(duì)角數(shù)字進(jìn)行交換；將右上區(qū)域i+j為奇數(shù)的與幻方內(nèi)以中心點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)的左下角對(duì)角數(shù)字進(jìn)行交換.（保證不同時(shí)為奇或偶即可.）
方法二；將幻方等分成m*m個(gè)4階幻方,將各4階幻方中對(duì)角線上的方格內(nèi)數(shù)字與n階幻方內(nèi)以中心點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)角數(shù)字進(jìn)行交換.
如下圖用Spring法生成的4階幻方：
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
YinMagic構(gòu)造偶階幻方
先構(gòu)造n-2幻方,之后將其中的數(shù)字全部加上2n-2,放于n階幻方中間,再用本方法將邊緣數(shù)字填寫完畢.本方法適用于n>4的所有幻方,我于2002年12月31日構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型.YinMagic法可生成6階以上的偶幻方.如下圖用YinMagic法生成的6階幻方：
10 1 34 33 5 28
29 23 22 11 18 8
30 12 17 24 21 7
2 26 19 14 15 35
31 13 16 25 20 6
9 36 3 4 32 27
魔鬼幻方
如將幻方看成是無(wú)限伸展的圖形,則任何一個(gè)相鄰的n*n方格內(nèi)的數(shù)字都可以組成一個(gè)幻方.則稱該幻方為魔鬼幻方.
用我研究的Horse法構(gòu)造的幻方是魔鬼幻方.如下的幻方更是魔鬼幻方,因?yàn)閷?duì)于任意四個(gè)在兩行兩列上的數(shù)字,他們的和都是34.此幻方可用YinMagic方法生成.
15 10 3 6
4 5 16 9
14 11 2 7
1 8 13 12