因?yàn)?DA=DC,所以D在AC的中垂線上.做DE垂直AC,E為AC的中點(diǎn).
BD=BA,D在以B為圓心,半徑AB的圓上.
做DF垂直AB,交AB于F點(diǎn).
1、
∠BAC=90
∠BAC=2∠ACB
所以∠ACB =∠ABC = 45
等腰直角三角形ABC.斜邊BC,直角A.
長(zhǎng)方形AEDF.
AE = DF = 1/2 AC = 1/2 AB = 1/2 BD
所以直角三角形FDB,斜邊BD,角FBD = 30度.
所以 ∠DBC = 45-30 =15度
∠ABC =45度
關(guān)系為∠ABC = 3∠DBC
2、∠BAC!=90
假設(shè)∠BAC=60,就是一個(gè)C為直角的三角形.
容易得出角DBC=30度,也滿足 關(guān)系∠ABC = 3∠DBC .
因此推測(cè)這個(gè)關(guān)系始終成立.下面證明之.
【簡(jiǎn)寫(xiě)說(shuō)明：x = ∠ACD,y = ∠DCB,z=∠BAD】
【則 x+y=∠ACB；x+z=∠CAB（因?yàn)閤=∠CAD）】
因?yàn)?x+z = 2（x+y)
所以 z = y+y+ x
z = ∠ADB = ∠DBC +x+x+y （延長(zhǎng)AD,利用外角和關(guān)系）
所以 ∠DBC = y-x
∠ABC = 180 - （∠BCA+∠BAC）= 180- 3*（x+y）
由正弦定理得：
BC:BD=sin∠BDC:sin∠DCB=sin(180-(∠DBC+sin∠DCB)):sin y =sin(y-x+y):sin y
BC:AB=sin∠CAB:sin∠ACB= sin(z+x):sin(x+y)=sin(y+y+x+x):sin(x+y)
因?yàn)锽D=AB
所以sin(y-x+y):sin y = sin(y+y+x+x):sin(x+y)
sin(y-x+y) / sin y = 2sin(y+x)cos(y+x) / sin(x+y)
2 cos(x+y) sin y = sin(2y-x)
2(cosx*cosy-sinx*siny)sin y = sin(2y)cosx - cos(2y)sinx
2cosxcosysiny - 2sinx*siny*siny = 2sinycosycosx - (1-2sin²y)sinx
2sinx*siny*siny = （1- 2siny*siny）sinx
（1）當(dāng)sinx!=0時(shí)：
2sinysiny = 1-2sinysiny
sin²y=1/4 所以 siny = 正負(fù)1/2； y=30度、150度.
因3(x+y)