樓主是我的知己!我前幾天正好證明了這個問題,晚上回來看答案咯!
首先,請樓主在草稿紙上面畫出XOY坐標(biāo),然后在上面隨意畫一個曲線圍成的封閉區(qū)域,我們把它叫做區(qū)域D
假設(shè)這個封閉區(qū)域的面積是S(D),邊長為L(D)
現(xiàn)在我們要證明定理1:
如果用平行于X軸和Y軸的等距平行線將坐標(biāo)系進(jìn)行劃分,那么當(dāng)這個劃分達(dá)到無限細(xì)時,落在D內(nèi)部的小正方形面積的極限就是區(qū)域D的面積.(用腦袋想象以下哦,實際上這也是求2重積分時我們能用dxdy近似的表示積分區(qū)域的原因)
樓主的定理可以看作是定理1的一個特例,在證明定理1之前,我們首先證明定理1能夠推出樓主所求
證的定理.
定理0:(樓主的定理)
設(shè)連續(xù)函數(shù)在定義域為[x0,x1]內(nèi),我們把曲線y=f(x),x=x0,x=x1,以及x軸圍成的閉區(qū)域稱為D,令其面積S(D),用平行于y軸等距平行線劃分該區(qū)域,所得的所有小矩形的和記為∑si,當(dāng)平行線的距離無限小時,必有l(wèi)im∑si=S(D).
如果已經(jīng)得到定理1,那么我們可以這樣劃分正方形:在定理0中的小矩形劃分完成后,就根據(jù)這個劃分的寬度,我
們保留這些平行線,在作出與x平行的等距劃分,這樣,小正方形的邊長和小矩形的寬度相等,并且任何一個小正方
形都在小矩形內(nèi)部.顯然能看出,小矩形的面積和∑Si>=正方形的面積和∑Sz,也就是 ∑Sza
.+ln >a
l(n-1)+l(n)+l1+l2 >a
ln+l1+l2+l3 >a
注意每個li出現(xiàn)了4次
所有的左邊和右邊相加,得:
4L(D)>n*a (1)
對于固定的閉區(qū)域,其邊長L可以看作常數(shù),因此有
n < k/a (k為常數(shù),a為正方形邊長)(2)
假設(shè)對于第1次劃分,得到邊界正方形了個數(shù)為n1,內(nèi)部正方形個數(shù)為m1,正方形邊長為a1
第2劃分原則是:邊長變?yōu)樵瓉淼?半,于是1個正方形變成了4個正方形,所以
m2>=4m1 (因為原來在邊界上的有可能被劃進(jìn)來了,所以m個數(shù)只會增加)
n2