二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)
一、二次函數(shù)概念：
1．二次函數(shù)的概念：一般地,形如 （ 是常數(shù), ）的函數(shù),叫做二次函數(shù).這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù) ,而 可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．
2. 二次函數(shù) 的結(jié)構(gòu)特征：
⑴ 等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量 的二次式, 的最高次數(shù)是2．
⑵是常數(shù), 是二次項(xiàng)系數(shù), 是一次項(xiàng)系數(shù), 是常數(shù)項(xiàng)．
二、二次函數(shù)的基本形式
1. 二次函數(shù)基本形式： 的性質(zhì)：
a 的絕對(duì)值越大,拋物線的開口越小.
的符號(hào)
開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

向上
軸
時(shí), 隨 的增大而增大； 時(shí), 隨 的增大而減??； 時(shí), 有最小值 ．

向下
軸
時(shí), 隨 的增大而減小； 時(shí), 隨 的增大而增大； 時(shí), 有最大值 ．
2.的性質(zhì)：
上加下減.
的符號(hào)
開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

向上
軸
時(shí), 隨 的增大而增大； 時(shí), 隨 的增大而減??； 時(shí), 有最小值 ．

向下
軸
時(shí), 隨 的增大而減小； 時(shí), 隨 的增大而增大； 時(shí), 有最大值 ．
3.的性質(zhì)：
左加右減.
的符號(hào)
開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

向上
X=h 時(shí), 隨 的增大而增大； 時(shí), 隨 的增大而減??； 時(shí), 有最小值 ．

向下
X=h 時(shí), 隨 的增大而減??； 時(shí), 隨 的增大而增大； 時(shí), 有最大值 ．
4.的性質(zhì)：
的符號(hào)
開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

向上
X=h 時(shí), 隨 的增大而增大； 時(shí), 隨 的增大而減??； 時(shí), 有最小值 ．

向下
X=h 時(shí), 隨 的增大而減??； 時(shí), 隨 的增大而增大； 時(shí), 有最大值 ．
三、二次函數(shù)圖象的平移
1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式 ,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) ；
⑵ 保持拋物線 的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到 處,具體平移方法如下：

2. 平移規(guī)律
在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ 值正右移,負(fù)左移； 值正上移,負(fù)下移”．
概括成八個(gè)字“左加右減,上加下減”．
方法二：
⑴ 沿 軸平移:向上（下）平移 個(gè)單位, 變成
（或 ）
⑵ 沿軸平移：向左（右）平移 個(gè)單位, 變成 （或 ）

四、二次函數(shù) 與 的比較
從解析式上看, 與 是兩種不同的表達(dá)形式,后者通過配方可以得到前者,即 ,其中 ．
五、二次函數(shù) 圖象的畫法
五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù) 化為頂點(diǎn)式 ,確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),然后在對(duì)稱軸兩側(cè),左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與 軸的交點(diǎn) 、以及 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn) 、與 軸的交點(diǎn) , （若與 軸沒有交點(diǎn),則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.
畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向,對(duì)稱軸,頂點(diǎn),與 軸的交點(diǎn),與 軸的交點(diǎn).
六、二次函數(shù) 的性質(zhì)
1. 當(dāng) 時(shí),拋物線開口向上,對(duì)稱軸為 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
當(dāng) 時(shí), 隨 的增大而減??；當(dāng) 時(shí), 隨 的增大而增大；當(dāng) 時(shí), 有最小值 ．
2. 當(dāng) 時(shí),拋物線開口向下,對(duì)稱軸為 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ．當(dāng) 時(shí), 隨 的增大而增大；當(dāng) 時(shí), 隨 的增大而減小；當(dāng) 時(shí), 有最大值 ．
七、二次函數(shù)解析式的表示方法
1. 一般式： （ , , 為常數(shù), ）；
2. 頂點(diǎn)式： （ , , 為常數(shù), ）；
3. 兩根式： （ , , 是拋物線與 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.
注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式,只有拋物線與 軸有交點(diǎn),即 時(shí),拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系
1. 二次項(xiàng)系數(shù)
二次函數(shù) 中, 作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然 ．
⑴ 當(dāng) 時(shí),拋物線開口向上, 的值越大,開口越小,反之 的值越小,開口越大；
⑵ 當(dāng) 時(shí),拋物線開口向下, 的值越小,開口越小,反之 的值越大,開口越大．
總結(jié)起來, 決定了拋物線開口的大小和方向, 的正負(fù)決定開口方向, 的大小決定開口的大?。?br/>2. 一次項(xiàng)系數(shù)
在二次項(xiàng)系數(shù) 確定的前提下, 決定了拋物線的對(duì)稱軸．
⑴ 在 的前提下,
當(dāng) 時(shí), ,即拋物線的對(duì)稱軸在 軸左側(cè)；
當(dāng) 時(shí), ,即拋物線的對(duì)稱軸就是 軸；
當(dāng) 時(shí), ,即拋物線對(duì)稱軸在 軸的右側(cè)．
⑵ 在 的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即
當(dāng) 時(shí), ,即拋物線的對(duì)稱軸在 軸右側(cè)；
當(dāng) 時(shí), ,即拋物線的對(duì)稱軸就是 軸；
當(dāng) 時(shí), ,即拋物線對(duì)稱軸在 軸的左側(cè)．
總結(jié)起來,在 確定的前提下, 決定了拋物線對(duì)稱軸的位置．
的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸 在 軸左邊則 ,在 軸的右側(cè)則 ,概括的說就是“左同右異”
總結(jié)：
3. 常數(shù)項(xiàng)
⑴ 當(dāng) 時(shí),拋物線與 軸的交點(diǎn)在 軸上方,即拋物線與 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；
⑵ 當(dāng) 時(shí),拋物線與 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線與 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ；
⑶ 當(dāng) 時(shí),拋物線與 軸的交點(diǎn)在 軸下方,即拋物線與 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．
總結(jié)起來, 決定了拋物線與 軸交點(diǎn)的位置．
總之,只要 都確定,那么這條拋物線就是唯一確定的．
二次函數(shù)解析式的確定：
根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)男问?才能使解題簡(jiǎn)便．一般來說,有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo),一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?一般選用頂點(diǎn)式；
3. 已知拋物線與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一般選用兩根式；
4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn),常選用頂點(diǎn)式．
九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱
二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)
1. 關(guān)于 軸對(duì)稱
關(guān)于 軸對(duì)稱后,得到的解析式是 ；
關(guān)于 軸對(duì)稱后,得到的解析式是 ；
2. 關(guān)于 軸對(duì)稱
關(guān)于 軸對(duì)稱后,得到的解析式是 ；
關(guān)于 軸對(duì)稱后,得到的解析式是 ；
3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是 ；
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是 ；
4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）
關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是 ；
關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是 ．
5. 關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱
關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱后,得到的解析式是
根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì),顯然無論作何種對(duì)稱變換,拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化,因此 永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí),可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．
十、二次函數(shù)與一元二次方程：
1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與 軸交點(diǎn)情況）：
一元二次方程 是二次函數(shù) 當(dāng)函數(shù)值 時(shí)的特殊情況.
圖象與 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：
① 當(dāng) 時(shí),圖象與 軸交于兩點(diǎn),其中的 是一元二次方程 的兩根．這兩點(diǎn)間的距離 .
② 當(dāng) 時(shí),圖象與 軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
③ 當(dāng) 時(shí),圖象與 軸沒有交點(diǎn).
當(dāng) 時(shí),圖象落在 軸的上方,無論 為任何實(shí)數(shù),都有 ；
當(dāng) 時(shí),圖象落在 軸的下方,無論 為任何實(shí)數(shù),都有 ．
2. 拋物線 的圖象與 軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為 , ；
3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：
⑴ 求二次函數(shù)的圖象與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；
⑵ 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；
⑶ 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù) 中 , , 的符號(hào),或由二次函數(shù)中 , , 的符號(hào)判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合；
⑷ 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,可利用這一性質(zhì),求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo),或已知與 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

拋物線與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根
拋物線與 軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
拋物線與 軸無交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.
⑸ 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式,二次三項(xiàng)式 本身就是所含字母 的二次函數(shù)；下面以 時(shí)為例,揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：
圖像參考：


十一、函數(shù)的應(yīng)用
二次函數(shù)應(yīng)用
二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型
1．考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì),有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中,如：
已知以 為自變量的二次函數(shù) 的圖像經(jīng)過原點(diǎn), 則 的值是
2．綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像,習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像,試題類型為選擇題,如：
如圖,如果函數(shù) 的圖像在第一、二、三象限內(nèi),那么函數(shù) 的圖像大致是（ ）
y y y y

11
0xo-1x0x0 -1x
A B C D
3．考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高,習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題,如：
已知一條拋物線經(jīng)過(0,3),(4,6)兩點(diǎn),對(duì)稱軸為 ,求這條拋物線的解析式.
4．考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、二次函數(shù)的極值,有關(guān)試題為解答題,如：
已知拋物線 （a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－1、3,與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－32
（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).
5．考查代數(shù)與幾何的綜合能力,常見的作為專項(xiàng)壓軸題.
【例題經(jīng)典】
由拋物線的位置確定系數(shù)的符號(hào)
例1 （1）二次函數(shù) 的圖像如圖1,則點(diǎn) 在（）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示,則下列結(jié)論：①a、b同號(hào)；②當(dāng)x=1和x=3時(shí),函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時(shí),x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

(1) (2)
【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線的位置與系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系,是解決問題的關(guān)鍵．
例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2,O)、(x1,0),且1