先舉一個(gè)例子,求1^5+2^5+3^5+…+n^5.
首先寫(xiě)出和式的前6項(xiàng)
即1^5=1 2^5=32 3^5=243 4^5=1024 5^5=3125 6^5=7776
再求出相鄰兩數(shù)之差,得
31 211 781 2101 4651
再次求出相鄰兩數(shù)之差,得
180 570 1320 2550
再次求,一直求到只剩一個(gè)數(shù)為止
390 750 1230
360 480
120
最后,取每一組數(shù)的第一個(gè)數(shù)（包括原數(shù)組）,得：1,31,180,390,360,120
則1^5+2^5+3^5+……+n^5=
1*C(1,n)+31*C(2,n)+180*C(3,n)+390*C(4,n)+360*C(5,n)+120*C(6,n)
對(duì)于某一個(gè)p,有一種通法可以求1^p+2^p+3^p+...+n^p.
首先寫(xiě)出這個(gè)和式的前(p+1)項(xiàng),
即
1^p 2^p 3^p 4^p …… (p+1)^p
然后求出相鄰兩數(shù)之差,得到的差有p個(gè)
再求出差的相鄰兩數(shù)之差,得到的差有(p-1)個(gè)
一直求下去,求到只剩一個(gè)差為止.
最后,包括原數(shù)組1^p 2^p 3^p 4^p …… (p+1)^p,一共有(p+1)組數(shù).
取每組數(shù)的第一個(gè)數(shù)a1、a2、a3、a4……a(p+1)（注：這(p+1)個(gè)數(shù)的順序?yàn)闉榍蟮貌顣r(shí)的順序.）
則1^p+2^p+3^p+...+n^p
=a1*C(1,n)+a2*C(2,n)+a3*C(3,n)+…+a(p+1)*C(p+1,n)