你的問(wèn)題跟當(dāng)年cantor考慮的問(wèn)題有些相似之處,不知道你對(duì)于公理集合論了解多少,你想搞清這個(gè)問(wèn)題必須要有點(diǎn)數(shù)理邏輯和集合論的知識(shí).
簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)的話,正有理數(shù)集合和有理數(shù)集合都是可數(shù)集,元素個(gè)數(shù)是無(wú)限的,但是沒(méi)有連續(xù)統(tǒng)的勢(shì).對(duì)于集合來(lái)說(shuō)我們一般分析的是它的勢(shì),有限集的勢(shì)可以理解為元素個(gè)數(shù),無(wú)限集就不那么簡(jiǎn)單了.[0,1]區(qū)間上的實(shí)數(shù)全體具有連續(xù)統(tǒng)的勢(shì),但是全體有理數(shù)不具有連續(xù)統(tǒng)的勢(shì),它的勢(shì)與整數(shù)集,自然數(shù)集,正有理數(shù)集的勢(shì)都是相同的,這個(gè)勢(shì)叫做阿列夫零.連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)叫做阿列夫.判斷兩個(gè)集合的勢(shì)是否相同的方法是看能不能構(gòu)造兩個(gè)集合之間的一個(gè)同構(gòu)映射,或者一一映射.如果這樣的一一映射存在,那么勢(shì)就是相同的.對(duì)于你的問(wèn)題,正有理數(shù)集合也好,有理數(shù)集合也好,它們都可以與自然數(shù)集建立一一映射的關(guān)系,所以它們的勢(shì)都相同.這里不存在你說(shuō)的那種無(wú)限等于或者不等于無(wú)限的問(wèn)題.無(wú)限本身就不可以按照有限的思維來(lái)比較大小.
我說(shuō)了一大推,不知道你聽(tīng)懂了幾句.這些問(wèn)題還是需要點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)的.
我就擔(dān)心你聽(tīng)不懂我的解釋,不過(guò)一般來(lái)說(shuō)高中階段是不會(huì)涉及這么本質(zhì)的問(wèn)題的,一般大學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)的也并不會(huì)學(xué)到這種問(wèn)題.所以,你大可不求甚解了.有興趣自己多看看課外資料吧.