（1）假設(shè)f（x）是奇函數(shù)，由于定義域是R，所以f（-x）=-f（x）對任意x都成立，
即

e?x

a

+

a

e?x

=?(

e?x

a

+

a

e?x

)，整理得(a+

1

a

)(ex+e?x)＝0，
即a+

1

a

＝0，即a²+1=0，顯然該方程無解，
所以f（x）不可能是奇函數(shù)．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x+e^-x，以下討論其單調(diào)性；
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=ex1+e?x1?ex2?e?x2=

(ex1?ex2)(ex1+x2?1)

ex1?ex2

，
其中ex1?ex2＞0，ex1?ex2＜0，當(dāng)ex1+x2?1＞0時(shí)，f（x₁）＜f（x₂），f（x）為減函數(shù)，
此時(shí)需要x₁+x₂＞0，即增區(qū)間為[0，+∞），反之（-∞，0]為減函數(shù)，
即函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，0]上為減函數(shù)．