用函數(shù)單調(diào)性證明Sinx>2x/π
用函數(shù)單調(diào)性證明Sinx>2x/π
數(shù)學(xué)人氣：495 ℃時間：2019-12-06 02:40:41
優(yōu)質(zhì)解答
證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=πsinx-2x.(x∈(0,π/2)).求導(dǎo)得：f'(x)=πcosx-2.f''(x)=-πsinx.∴在(0,π/2)上,恒有f''(x)＜0,∴在(0,π/2)上,導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(0,π/2)上遞減,又f'(0)=π-2＞0,f'(π/2)=-2＜0,∴存在a,0＜a＜π/2.f'(a)=0.且在(0,a)上,f(x)遞增,在[a,π/2)上,f(x)遞減.∴在(0,π/2)上,恒有f(x)＞f(0)=0,且f(x)＞f(π/2)=0.即在(0,π/2)上,恒有f(x)＞0.===>恒有πsinx-2x＞0.===>sinx＞2x/π.
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