x→0
lim (3^√(1+sinx)-1) / ln(1+x+x^2)
利用等價無窮小：ln(1+x+x^2)~x+x^2
因為
lim ln(1+x+x^2) / (x+x^2)
=lim ln(1+(x+x^2))^1/(x+x^2)
=ln lim (1+(x+x^2))^1/(x+x^2)
=lne
=1
故,原極限
=lim (3^√(1+sinx)-1) / (x+x^2)
記a=3^√(1+sinx)
=lim (a-1)(a^2+a+1) / (x+x^2)(a^2+a+1)
=lim (a^3-1) / (x+x^2)(a^2+a+1)
=lim sinx / (x+x^2)(a^2+a+1)
上下同時除以sinx
=lim sinx/sinx / (x+x^2)(a^2+a+1)/sinx
=lim 1 / (x/sinx+x^2/sinx)(a^2+a+1)
因為,x/sinx趨于1,x^2/sinx趨于0,a趨于1,故
=1/(1+0)(1+1+1)
=1/3
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