數(shù)學(xué)橢圓旋轉(zhuǎn)公式中UO'V是什么意思呢?
要看橢圓旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換公式及推導(dǎo)過程,就要先看2個直角坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換和平移變換關(guān)系.
先看旋轉(zhuǎn)變換.
有2個右手螺旋平面直角坐標(biāo)系,UOV和XOY.
2坐標(biāo)系共原點O.
U0V的U軸的正向和X0Y的X軸正向之間的夾角為W.
【可以在紙上畫一個XOY坐標(biāo)系,然后讓U軸在XOY的第一象限,畫出UOV坐標(biāo)系來.0 < W < PI/2 】
則,
若平面上一點P在XOY坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(X,Y),在UOV坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(U,V).
【在XOY,UOV的第一象限的公共部分畫一點P,然后由P分別向X,Y,U,V畫垂線】
則
X = U*COS(W) - V*SIN(W)
Y = U*SIN(W) + V*COS(W)
U = X*COS(W) + Y*SIN(W)
V = X*SIN(W) - Y*COS(W)
這樣,
一個在XOY中的標(biāo)準(zhǔn)的橢圓 X^2/A^2 + Y^2/B^2 = 1 在UOV中滿足的方程就變成了
[U*COS(W) - V*SIN(W)]^2/A^2 + [U*SIN(W) + V*COS(W)]/B^2 = 1
U^2{[BCOS(W)]^2 + [ASIN(W)]^2} + V^2{[BSIN(W)]^2 + [ACOS(W)]^2} + 2UV[COS(W)SIN(W)][A^2 + B^2] - (AB)^2 = 0,
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再看平移變換.
有2個右手螺旋平面直角坐標(biāo)系,UO'V和XOY.
2坐標(biāo)系的U,X坐標(biāo)軸相互平行,V,Y坐標(biāo)軸也相互平行.
UO'Y的原點O'在XOY中的坐標(biāo)為（S,T）.
則,
若平面上一點P在XOY坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(X,Y),在UO'V坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(U,V).
X = U + S
Y = V + T
U = X - S
V = Y - T
這樣,
一個在XOY中的標(biāo)準(zhǔn)的橢圓 X^2/A^2 + Y^2/B^2 = 1 在UO'V中滿足的方程就變成了
[U+S]^2/A^2 + [V+T]^2/B^2 = 1.
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把平移和旋轉(zhuǎn)結(jié)合起來,
有2個右手螺旋平面直角坐標(biāo)系,UO'V和XOY.
UO'Y的原點O'在XOY中的坐標(biāo)為（S,T）.
U0'V的U軸的正向和X0Y的X軸正向之間的夾角為W.
則,
若平面上一點P在XOY坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(X,Y),在UO'V坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(U,V).
X = U*COS(W) - V*SIN(W) + S
Y = U*SIN(W) + V*COS(W) + T
U = (X-S)*COS(W) + (Y-T)*SIN(W)
V = (X-S)*SIN(W) - (Y-T)*COS(W)
這樣,
一個在XOY中的標(biāo)準(zhǔn)的橢圓 X^2/A^2 + Y^2/B^2 = 1 在UO'V中滿足的方程就變成了
[U*COS(W) - V*SIN(W) + S]^2/A^2 + [U*SIN(W) + V*COS(W) + T]/B^2 = 1