（1）如圖甲,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,P是BC中點(diǎn),點(diǎn)F是AC上任意一點(diǎn)(不與A,C重合),E是AB上一點(diǎn),且PE⊥PF,連結(jié)EF.求證：BE²+CF²=EF².

（1）如圖甲,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,P是BC中點(diǎn),點(diǎn)F是AC上任意一點(diǎn)(不與A,C重合),E是AB上一點(diǎn),且PE⊥PF,連結(jié)EF.求證：BE²+CF²=EF².
（2）如圖乙,在△ABC中,AB≠AC,∠BAC=90°,P是BC中點(diǎn),點(diǎn)F是AC上任意一點(diǎn)(不與A,C重合),E是AB上一點(diǎn),且PE⊥PF,連結(jié)EF.試判斷結(jié)論BE²+CF²=EF²是否仍成立,并說(shuō)明理由.

數(shù)學(xué)人氣：256 ℃時(shí)間：2020-05-27 07:16:29

優(yōu)質(zhì)解答

證明：延長(zhǎng)FP,使PG=FP,連接BG ,EG
因?yàn)辄c(diǎn)P是BC的中點(diǎn)
所以BP=CP
因?yàn)榻荁PG=角CPF
所以三角形BPG和三角形CPG全等（SAS)
所以BG=CF
角GBP=角C
所以BG平行AC
所以角BAC+角GBE=180度
因?yàn)榻荁AC=90度
所以角GBE=90度
由勾股定理得：
GE^2=BG^2+BE^2
所以GE^2=BE^2+CF^2
因?yàn)镻E垂直EF
所以角EPG=角EPF=90度
因?yàn)镻E=PE
所以三角形EPG和三角形EPF全等（SAS)
所以GE=EF
所以BE^2+CF^2=EF^2
(2)結(jié)論BE^2+CF^2=EF^2仍然成立
證明同（1）

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（1）如圖甲,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,P是BC中點(diǎn),點(diǎn)F是AC上任意一點(diǎn)(不與A,C重合),E是AB上一點(diǎn),且PE⊥PF,連結(jié)EF.求證：BE²+CF²=EF².

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