1.當(dāng)x《0時,顯然有ex≤e^x
當(dāng)x>0時,要證ex≤e^x,只要證e^x/x-e》0,構(gòu)造f（x）=e^x/x,所以f（1）=e
所有由拉格朗日中值定理,當(dāng)x>1時,f（x）-f（1）=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a屬于【1,x],顯然
f(x)>f（1）
當(dāng)x=1,f（x）=f（1）
當(dāng)1>x>0時,f（x）-f（1）=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a屬于[0,1],所以f(x)>f（1）
綜合上述,e^x/x-e》0,即ex≤e^x
2,構(gòu)造f（x）=tanx,f（0）=0,f（x）-f（0）=1/(cosa)^2(x-0),其中a屬于【0,π／2】,顯然f（x）-f（0）》x,所以x≤tanx
3.lim(x→0)[1／e（1+x）^1／x]^1／x
=lim（x→0）e^{ln{1／e（1+x）^1／x}/1／x}
= lim e^{(1／x)ln(1+x)-1}/x
=lime^{ln(1+x)-x}/x^2(前面幾步,恒等變形)
=lime^{1/(1+x)-1}/2x（羅必塔法）
=lime^-x/2x
=e^-1/2