勾股數(shù)
凡是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù),稱之為勾股數(shù).
①觀察3,4,5；5,12,13；7,24,25；…發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)都是奇數(shù),且從3起九沒有間斷過(guò).計(jì)算0.5（9-1）,0.5（9+1）與0.5（25-1）,0.5（25+1）,并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出分別能表示7,24,25的股和弦的算式.
②根據(jù)①的規(guī)律,用n的代數(shù)式來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦,合情猜想他們之間的兩種相等關(guān)系,并對(duì)其中一種猜想加以說(shuō)明.
③繼續(xù)觀察4,3,5；6,8,10；8,15,17；…可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù),且從4起也沒有間斷過(guò),運(yùn)用上述類似的探索方法,之間用m的代數(shù)式來(lái)表示它們的股合弦.
設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)為a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,這是構(gòu)成直角三角形三邊的充分且必要的條件.因此,要求一組勾股數(shù)就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整數(shù)解.
例：已知在△ABC中,三邊長(zhǎng)分別是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1),求證：∠C=90°.此例說(shuō)明了對(duì)于大于2的任意偶數(shù)2n(n＞1),都可構(gòu)成一組勾股數(shù),三邊分別是：2n、n2-1、n2+1.如：6、8、10,8、15、17、10、24、26…等.
再來(lái)看下面這些勾股數(shù)：3、4、5、5、12、13,7、24、25、9、40、41,11、60、61…這些勾股數(shù)都是以奇數(shù)為一邊構(gòu)成的直角三角形.由上例已知任意一個(gè)大于2的偶數(shù)可以構(gòu)成一組勾股數(shù),實(shí)際上以任意一個(gè)大于1的奇數(shù)2n+1(n＞1)為邊也可以構(gòu)成勾股數(shù),其三邊分別是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,這可以通過(guò)勾股定理的逆定理獲證.
觀察分析上述的勾股數(shù),可看出它們具有下列二個(gè)特點(diǎn)：
1、直角三角形短直角邊為奇數(shù),另一條直角邊與斜邊是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù).
2、一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)等于短直角邊的平方與這邊的和.
掌握上述二個(gè)特點(diǎn),為解一類題提供了方便.