淺談三角形的費(fèi)馬點(diǎn)
法國(guó)著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬曾提出關(guān)于三角形的一個(gè)有趣問題：在三角形所在平面上,求一點(diǎn),使該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小．人們稱這個(gè)點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．這是一個(gè)歷史名題,近幾年仍有不少文獻(xiàn)對(duì)此介紹．
本文試以課本上的習(xí)題、例題為素材,根據(jù)初中學(xué)生的認(rèn)知水平,針對(duì)這個(gè)問題擬定一則思維訓(xùn)練材料,引導(dǎo)學(xué)生通過自己的思維和學(xué)習(xí),初步了解這個(gè)問題的產(chǎn)生、形成、推理和論證過程及應(yīng)用．
1．三角形的費(fèi)馬點(diǎn)
已知：如圖1,ΔABD、ΔAEC都是等邊三角形．求證：BE=DC．
這個(gè)題目證明比較容易,下面提幾個(gè)問題供同學(xué)們思考．
思考1 在ABC的BC邊再作等邊三角形BCF,并連接AF如圖2,可得到什么結(jié)論?是否有
(1)BE=CD=AF?
(2)BE、CD、AF三線交于一點(diǎn)O?
(3)∠AOB=∠BOC=∠COA=120°?
思考2 如將原題的圖1改成圖3,并連接DE,還能得到什么結(jié)論?
(1)原題的結(jié)論仍然成立：BE=CD．
(2)若∠ADC=120°,則D點(diǎn)在等邊ΔAEC的外接圓上．D、B、E共線,由BE=CD有：AD＋CD=DE；若∠ADC≠120°,易證AD＋DC＞DE．得到下列命題．
定理1 等邊三角形外接圓上一點(diǎn),到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離；不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn),到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距離．
思考3 根據(jù)上述定理,在圖2中還有
(1)OA＋OB＋OC=AF．
(2)在ΔABC內(nèi)另取一點(diǎn)O,總有
O′A＋O′B＋O′C＞AF,
即 OA＋OB＋OC＜O′A＋O′B＋O′C．
(3)點(diǎn)O是ΔABC所在平面上到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和為最小的點(diǎn)．
定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120°時(shí),在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn),它對(duì)三條邊所張的角都是120°,該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小,稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”,當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120°時(shí),此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．
2．水管線路最短問題
如圖4,要在河邊修建一個(gè)水泵站,分別向張村、李莊供水,修在河邊什么地方,可使所用水管最短?
這是一個(gè)很有意義的應(yīng)用題,在公路,自來水或煤氣管道線路設(shè)計(jì)等方面都有一定價(jià)值．假如不是由水泵站C直接向A、B兩地供水,那么本例用“對(duì)稱點(diǎn)”方法所確定的線路CA＋CB并不是最短線路．易知當(dāng)A、B、C三點(diǎn)所確定的三角形各角都小于120°時(shí),在該三角內(nèi)必存在費(fèi)馬點(diǎn)O有OA＋OB＋OC＜CA＋CB,可見水管總長(zhǎng)還可以更小一些．于是水管線路最短問題即為A、B兩點(diǎn)在直線L同側(cè),點(diǎn)C為L(zhǎng)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的費(fèi)爾馬問題,下面分兩類情況討論這個(gè)問題．
(1)AB與L的夾角小于30”．
如圖5,以AB為一邊作正三角形ABM,并作ΔABM的外接圓．
當(dāng)所作外接圓與直線L相離或相切時(shí),從M點(diǎn)作直線L的垂線,交圓于O點(diǎn),垂足為C．C即為水泵站位置,先把水引到O點(diǎn),再?gòu)腛點(diǎn)分別向A、B兩地供水,此時(shí)點(diǎn)O 更短,即在L上另選一點(diǎn)都不會(huì)改進(jìn)．
優(yōu)的了,因?yàn)椤螦BC≥120°,費(fèi)馬點(diǎn)就是點(diǎn)C也就是在C建水泵站直接向A、B兩地供水．如果水泵站C選在P點(diǎn)的左側(cè),如圖7,此時(shí)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)O必在在點(diǎn)P上,故L上點(diǎn)P的左側(cè)不會(huì)有更好的點(diǎn)可選,同理Q點(diǎn)的右邊也找不出更好的點(diǎn)．
(2)AB與L的夾角不小于30°．
如圖8,若A點(diǎn)離直線L較近,作AC⊥L交于C,點(diǎn)C為水泵站位置,因?yàn)椤螩AB≥120°,點(diǎn)A即為ΔABC的費(fèi)馬點(diǎn),此時(shí)水管總長(zhǎng)為CA＋AB．在L上任意另取一點(diǎn)都不會(huì)再有改進(jìn)．顯然在點(diǎn)C的左側(cè)取一點(diǎn)C′時(shí),ΔABC′的費(fèi)馬點(diǎn)仍在A點(diǎn),易知 弧上(因?yàn)棣BM的外接圓不會(huì)與L相交或相切),故必有；O′A+O′B+O′C=O′M+O′C＞CA+AM=CA＋AB．
綜上所述水管的最短線路有三種分別為“Y”字型“V”字型及“廠”字型．
3．兩個(gè)應(yīng)用題
文(4)談到95年全國(guó)高考命題組,對(duì)應(yīng)用題選編時(shí)曾考慮過如下兩個(gè)題目：
(1)一條河寬1km,兩岸各有一座城市A與B,A與B的直線距離是4km,今須鋪設(shè)一條電纜連A與B,已知地下電纜修建費(fèi)用為2萬(wàn)元/km,水下電纜為4萬(wàn)元/km,假定河兩岸是直線,問應(yīng)如何架設(shè)電纜方可使總施工費(fèi)用達(dá)到最小?
(2)有四個(gè)點(diǎn)位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上,須用線將它們連成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)(即從任何一點(diǎn)出發(fā),可沿此網(wǎng)絡(luò)中的線達(dá)到別的點(diǎn)),問此網(wǎng)絡(luò)應(yīng)以什么方式連接這四個(gè)點(diǎn),方可使所用的線總長(zhǎng)最小?
湯建新,趙漢群曾在《中學(xué)數(shù)學(xué)》(湖北)1997．10月刊上發(fā)文(5)對(duì)(1)題作了詳細(xì)討論,并給出一個(gè)很巧妙的解答,使初中學(xué)生可以理解．用費(fèi)馬點(diǎn)也可這樣去解,因?yàn)樗纂娎|每千米修建費(fèi)為地下的兩倍,如圖9,實(shí)際上即為在河岸直線L上找一點(diǎn)C使AC＋2BC最小,取B點(diǎn)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)B′,因?yàn)锽C=B′C故所求點(diǎn)C(電纜的下水點(diǎn))即為ΔABB′的費(fèi)馬點(diǎn),取∠BCA=120°即得．
關(guān)于(2)題如圖10,易知不論如何連接,所求的網(wǎng)絡(luò)必通過正方形中心O點(diǎn),問題轉(zhuǎn)化為ΔABO與ΔDCO的費(fèi)馬問題,也可以轉(zhuǎn)化為問題(1),詳細(xì)解答請(qǐng)同學(xué)們考慮．