費馬點的研究與應(yīng)用
一、 研究動機(jī)
未來21世紀(jì)高雄將跟上首都臺北的腳步---興建捷運系統(tǒng),將海都高雄完全發(fā)展成最先進(jìn)的都會區(qū).高雄捷運跟臺北不一樣,采地下化建筑,其中紅線與橘線基本路網(wǎng)已經(jīng)規(guī)劃好,聽爸爸說,不管是哪一路線都需建捷運主機(jī)廠,主機(jī)廠對於捷運相當(dāng)於心臟對於人類,於是便想：是否能找到一個位置到各捷運站的的距離和為最小,以方便控制?
又從文獻(xiàn)上得知在三角形中有一點到三頂點距離和為最小,稱為「費馬點」,於是即以此為出發(fā)點,對費馬點的性質(zhì)來進(jìn)行一系列的探討與研究.
二、 研究目的
（一） 以數(shù)學(xué)方法證明費馬點的存在及其特性.
（二） 運用物理學(xué)方法探討費馬點之相關(guān)理論.
（三） 求作直角座標(biāo)系中的費馬點驗證物理實驗結(jié)果.
（四） 探討費馬點在生活中的應(yīng)用實例.
三、 研究設(shè)備器材
滑輪、木條、棉線、黏土塊、方格紙、量角器.
四、 研究過程
(一) 以數(shù)學(xué)方法證明費馬點的存在及其特性：
Ⅰ.其實在之前就有一些有名的數(shù)學(xué)家提出相關(guān)的作 法及證明,我把文獻(xiàn)上找到的一一列於附件說明,另外我也試著做做看是否有其他的方式可以求出費馬點：
1.費馬點之求法（參考圖一）.
(1) 做一三內(nèi)角均小於120°之△ABC.
(2) 以 , 為一邊,分別向外側(cè)做正三角形△ABD與△ACE.
(3) 連接 , 交於P點,則P點即為所求.
2.費馬點的性質(zhì)：L= + + 為最小值.
～首先證明由上述作法做的費馬點存在-----
ㄅ.（參考圖二）旋轉(zhuǎn)△BPC,
使 與 重合（ = ）,
P點落在H處
則∠BPC=∠BHG=120°
ㄆ.又∠BHP=60°（證明在ㄇ）
∴∠BHG+∠BHP=180°
故A,P,H,G三點共線
ㄇ.∵△BHG △BPC
得 = , =
∵∠2+∠3=60°且∠1=∠3
∴∠1+∠2=60°=∠PBH
因此△BPH為正△,得 =
知存在一點P使得 + + = + + =
～再來證明所求出的點至三頂點距離最小
ㄅ.（參考圖三）在ABC內(nèi)另取一點Q異於P,
連接 、 、
ㄆ.參考步驟（1）之證法同理可證得 + + = + +
ㄇ.
故P點使 + + 為最小值
Ⅱ.一般費馬點的探討僅限於三角皆小於120°三角形內(nèi)部,那麼如果討論任一角大於或等於120°之三角形,是否能找到一點至三頂點距離和最短?（參考圖四）
(1) △ABC的∠A＞120°,P為△ABC內(nèi)部任一點
延長 至B',使 =
做∠B'AP'=∠BAP,取 =
故△B'AP' △BAP,得 = .
於是 + + = + + ,
(2) 但因∠A＞120°,故∠B'AB＜60°,
亦得∠PAP'＜60°；從而等腰三角形P'AP
中∠AP'P＞60°,故 ＞
則 + + ＞ + + ＞ + ,即 + + ＞ +
亦即：如果有一點P與A重合,則P點即是到A、B、C三點距離之和最小的點.
(3) 證得：若已知三角形有一內(nèi)角大於或等於120°,則費馬點即為該內(nèi)角的頂點.
Ⅲ.三內(nèi)角皆小於120°的三角形才存在費馬點,但在日常生活中不止三角形需要找到一點到各頂點距離和最小ㄚ!也就是如果改變形狀后是否能找到一點P點,使得P點至頂點距離和最小,我們以下就最簡單的四邊形先做討論（參考圖五）.
(1) 已知：四邊形ABCD
求作：ABCD內(nèi)的P點
做法：在四邊形ABCD中
∵對角線為直線
∴對角線 為A、C之間的最小距離
同理對角線 為B、D之間的最小距離
發(fā)現(xiàn)： 、 之交點P為四邊形ABCD內(nèi)之一點使得 + + + 為最小值
即P點至四邊形四個頂點距離和最小
(2) 證明：（參考圖六）
在四邊形ABCD內(nèi)另取一點P'異於P
連接 、 、 、
△P'BD、△AP'C中
+ ＞ 且 + ＞ （任兩邊和大於第三邊）
∴ + + + ＞ + = + + +
故P點使 + + + 為最小值
(二) 運用物理學(xué)方法探討費馬點之相關(guān)理論———常聽人說『數(shù)學(xué)是科學(xué)之
母』,那是否能運用科學(xué)方法驗證費馬點的存在性或一些費馬點的性質(zhì)ㄋ?參考老師的意見并思考后做了一系列有關(guān)力學(xué)的實驗：
1. 實驗一：從三力平衡證明費馬點的性質(zhì)－ 、 、 所夾的三個角必為120°.
(1) 以木條為邊組裝正三角形,三頂點各裝置一滑輪,取三條等長棉線一端各懸掛一等重黏土塊W,分別由三滑輪垂下,另一端連在一起代表P點.
(2) 讓重物自然垂下到達(dá)靜止?fàn)顟B(tài),量測∠APB、∠APC、∠BPC之角度（數(shù)據(jù)說明在表一）.
(3) 因為三重物重量相等,三條線的張力亦相同,即F1=F2=F3=W在平衡時所構(gòu)成的力圖（參考圖A）形成的「封閉三角形（參考圖B）」為正三角形,亦即該力圖之三力所夾的三個角
皆為120°.
(4) 將步驟(2)之實驗裝置垂直置於一座標(biāo)平面之上方,紀(jì)錄P點座標(biāo),再和（三）求出之P點一次函數(shù),以電腦程式計算（詳細(xì)程式參考附件二）是否符合.
(5) 重復(fù)以上步驟5次,并改變?nèi)切蔚男螤钪貜?fù)操作.
2. 實驗二：從實驗發(fā)現(xiàn)費馬點具有最低的位能的特性.
(1) 以木條為邊組裝正三角形ABC置於水平面上,三頂點各裝置一滑輪,取三條等長棉線一端各懸掛一等重黏土塊W,分別由三滑輪垂下,由實驗一已知P點為費馬點.
(2) 於P點（費馬點）懸掛一黏土塊W,讓重物自然垂直向下移動到達(dá)靜止?fàn)顟B(tài)（裝置參考圖C）,量測此時P點與水平面之垂直距離,分別作三次后取平均值,高度為hP.
(3) 將P點任意移向三邊 、 、 上任意點,然后將重物放開,發(fā)現(xiàn)不論在任何邊上,均會趨向費馬點.根據(jù)「物體會自由趨向能量最低點」的原理,可證明費馬點具有最低的位能.
(4) 將步驟(3)之實驗過程分別紀(jì)錄得到位能高度h'（三次平均值）、 、 （代表從 點釋放后的狀況,依此類推）、 、 、 、 （數(shù)據(jù)說明在表二）.
(5) 重復(fù)以上步驟3次,并改變?nèi)切蔚男螤钪貜?fù)操作.
(三)求作直角座標(biāo)系中的費馬點驗證物理實驗結(jié)果———直角座標(biāo)常被利用在地圖的表示上,是否我們能找出求作直角座標(biāo)系中的P點（P點為至各頂點距離和最小的一點）再配合電腦程式來驗證我們實驗結(jié)果?
(1) 三角形---
a.為方便起見一邊固定於x軸上且一頂點為原點,做法乃利用前述（一）的想法
b.以下先就特殊三角形一一做討論再推廣至一般三角形
ㄅ.三角形（參考圖七）
=
= =
故P點座標(biāo)為（ ）
ㄆ.等腰三角形（參考圖八）
∵四邊形AOBC為鳶形
∴
又∠OPC=120°
因此∠OPD=60°
故 = = =
則P點座標(biāo)為（ ）
ㄇ.直角三角形（參考圖九）
設(shè)過P點之函數(shù)為y=ax+b
將A,B,C,D四點座標(biāo)代入
求 , 之方程式并解聯(lián)立方程式
： y= x+y1
： y= (x-x1)
得P點座標(biāo)為
ㄈ.等腰直角三角形
等腰直角三角形為等腰三角形之一種,故P點座標(biāo)可參考等腰三角形之求法.同理P點座標(biāo)也可參考直角三角形之求法.
ㄉ.任意三角形（參考圖十）
設(shè)過P點之函數(shù)為y=ax+b
將A,B,C,D四點座標(biāo)代入
求 , 并解聯(lián)立方程式
： y=
： y=
得P點座標(biāo)為
(2) 四邊形---
a. 為方便起見一邊固定於x軸上且一頂點為原點,做法乃利用前述（三）的想法
b. 以下先就特殊四邊形一一做討論再推廣至任意四邊形
ㄅ.正方形（參考圖十一）
∵四邊形ABCO為正方形
∴ 平分 且 =
（正方形中對角線互相平分）
故P點座標(biāo)為（ ）
ㄆ.長方形（參考圖十二）
∵四邊形ABCO為長方形
∴ 平分 且 =
（長方形中對角線互相平分）
故P點座標(biāo)為（ ）
ㄇ.平行四邊形（參考圖十三）
∵四邊形ABCO為平行四邊形
∴ 平分 且 =
（平行四邊形中對角線互相平分）
故P點座標(biāo)為（ ）
ㄈ.菱形（參考圖十四）
∵四邊形ABCO為菱形
∴ 平分 且 =
（菱形中對角線互相平分）
故P點座標(biāo)為（ ）
發(fā)現(xiàn)：若四邊形對角線互相平分,
則其P點為此四邊形對角線之中點.
ㄉ.等腰梯形（參考圖十五）
作 // //
∵ // //
∴△ABP~△OPC
設(shè) 為 , 為y-
( )
∴
又∵ABCO為等腰梯形
∴
故P點座標(biāo)為（ ）
ㄊ.兩個內(nèi)角為直角的梯形（參考圖十六）
作 // //
∵ // //
∴△ABP~△OPC
設(shè) 為 , 為y-
( ) =
∴
∵ // //
∴△ADP~△AOC
設(shè) 為
∴
故P點座標(biāo)為（ ）
ㄋ.任意梯形（參考圖十七）
作 // //
∵ // //
∴△ABP~△OPC
設(shè) 為 , 為y-
( )=
∴
∵ // //
∴△ADP~△AOC
設(shè) 為
∴
故P點座標(biāo)為（ ）
（以下為方便起見,將兩頂點固定於x軸上）
ㄌ.鳶形（參考圖十八）
∵ 為對角線
∴P點在x軸上
又四邊形ABCO為鳶形
∴ 平分且
故P點座標(biāo)為（ ）
ㄍ.任意凸四邊形（參考圖十九）
設(shè)過P點之函數(shù)為y=ax+b
將A,B,C,O四點座標(biāo)代入
求 , 之方程式并解聯(lián)立方程式
： y=
： y=0
得P點座標(biāo)為
五、 研究結(jié)果
以下配合直角座標(biāo)及物理實驗,依圖形形狀不同一一分析物理及數(shù)學(xué)所求的數(shù)據(jù),找出其相關(guān)性.
（一） 正三角形、直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形和任意銳角三角形的P點一次函數(shù)（參考前述直角座標(biāo)的圖形）：
1. 正三角形：（ ）
2. 等腰三角形：（ ）
3. 直角三角形：
4. 等腰直角三角形：（ ）或
5. 任意三角形：
（二） 正方形、長方形、平行四邊形、菱形、等腰梯形、兩個內(nèi)角為直角的梯形、任意梯形、鳶形和任意四邊形的P點一次函數(shù)（參考前述直角座標(biāo)的圖形）：
1. 正方形、長方形、平行四邊形、菱形：（ ）
2. 等腰梯形：（ ）
3. 兩個內(nèi)角為直角的梯形：（ ）
4. 任意梯形：（ ）
5. 鳶形：（ ）
6. 任意四邊形：
（三） 實驗一數(shù)據(jù)（表一）：
正三角形 A(2,2 ) B(4,0) C(0,0)
次數(shù) 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 120° 120.5° 118° 120.5° 120°
∠APB 120° 119.5° 122° 121° 124°
∠BPC 120° 119° 119° 120° 117°
P點座標(biāo) 測量值 (1.96,0.91) (2.00,1.34) (2.06,1.40) (2.05,1.44) (2.03,1.35)
計算值 約(2,1.154701)
等腰三角形 A(1.5, ) B(3,0) C(0,0)
次數(shù) 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 123° 118° 119° 122° 120°
∠APB 119° 120° 119.5° 120° 120°
∠BPC 121° 120° 121° 121° 119°
P點座標(biāo) 測量值 (1.50,1.08) (1.51,0.92) (1.61,0.89) (1.60,0.98) (1.52,1.02)
計算值 約(1.5,0.866025)
直角三角形 A(0,4) B(3,0) C(0,0)
次數(shù) 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 119° 118° 122° 121.5° 121°
∠APB 120° 121° 120.5° 121° 120°
∠BPC 120° 121° 119.5° 118° 120°
P點座標(biāo) 測量值 (0.66,0.84) (0.69,0.65) (0.79,0.55) (0.71,0.58) (0.84,0.56)
計算值 約(0.75117,0.695789)
等腰直角三角形 A(0,3) B(3,0) C(0,0)
次數(shù) 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 121° 120° 119° 118.5° 120°
∠APB 119° 119.5° 121° 119° 119.5°
∠BPC 118° 118° 119.5° 119.5° 118°
P點座標(biāo) 測量值 (0.58,0.61) (0.72,0.58) (0.62,0.59) (0.50,0.80) (0.66,0.56)
計算值 約(0.633975,0.633975)
任意三角形 A(2.2,3.6) B(4.8,0) C(0,0)
次數(shù) 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 121.5° 119.5° 120° 118.5° 120°
∠APB 119.5° 120° 120.5° 120° 122°
∠BPC 119° 120.5° 120° 119° 120°
P點座標(biāo) 測量值 (1.96,0.91) (2.00,1.34) (2.06,1.40) (2.05,1.44) (2.03,1.35)
計算值 約(2.257189,1.381958)
結(jié)果：測量值和計算值極為接近,即可證明實驗所得之P點為費馬點,但於實驗中會受到摩擦力等因素的影響造成誤差.
（四） 實驗二數(shù)據(jù)（表二）：
正三角形 A(2,2 ) B(4,0) C(0,0)
次數(shù) 1 2 3
P點座標(biāo) P (2.12,1.31) (1.92,1.31) (1.96,1.30)
(2.08,1.33) (2.15,1.10) (1.95,1.09)
(1.98,2.06) (1.94,1.13) (1.86,1.13)
(2.31,1.13) (2.15,1.17) (1.98,0.97)
垂直高度 原來高（hP）為35.3cm
費馬點高（h'）為32.25cm
32.35cm 31.6cm 32.1cm
32.25cm 31.8cm 32.5cm
32.4cm 31.75cm 32.0cm
等腰三角形 A(1.5, ) B(3,0) C(0,0)
次數(shù) 1 2 3
P點座標(biāo) P (1.54,0.90) (1.56,0.97) (1.72,0.91)
(1.44,0.69) (1.52,0.80) (1.51,0.92)
(1.50,0.66) (1.61,0.74) (1.64,0.68)
(1.46,0.77) (1.48,0.65) (1.43,0.74)
垂直高度 原來高（hP）為35cm
費馬點高（h'）為32.3cm
31.9cm 32.1cm 32.0cm
32.1cm 32.2cm 32.15cm
32.2cm 32.3cm 32.25cm
直角三角形 A(0,4) B(3,0) C(0,0)
次數(shù) 1 2 3
P點座標(biāo) P (0.84,0.74) (0.86,0.64) (0.74,0.69)
(0.96,0.68) (1.00,0.62) (1.06,0.67)
(0.84,0.68) (0.79,0.85) (0.84,0.80)
(0.78,0.54) (0.73,0.74) (0.86,0.79)
垂直高度 原來高（hP）為35.2cm
費馬點高（h'）為32.4cm
32.2cm 32.25cm 32.3cm
32.4cm 32.6cm 32.55cm
32.15cm 32.5cm 32.4cm
等腰直角三角形 A(0,3) B(3,0) C(0,0)
次數(shù) 1 2 3
P點座標(biāo) P (0.64,0.61) (0.66,0.53) (0.62,0.66)
(1.12,0.59) (1.06,0.54) (0.95,0.58)
(0.75,0.74) (0.87,0.68) (0.84,0.88)
(0.76,0.66) (0.92,0.57) (0.78,0.82)
垂直高度 原來高（hP）為35.3cm
費馬點高（h'）為32.5cm
32.4cm 32.2cm 32.5cm
32.4cm 32.6cm 32.45cm
32.65cm 32.5cm 32.6cm
任意三角形 A(2.2,3.6) B(4.8,0) C(0,0)
次數(shù) 1 2 3
P點座標(biāo) P (2.20,1.49) (2.42,1.37) (2.11,1.63)
(2.55,1.57) (2.65,1.40) (2.46,1.27)
(2.26,1.43) (2.47,1.41) (2.44,1.29)
(2.55,1.40) (2.49,1.48) (2.46,1.23)
垂直高度 原來高（hP）為35.5cm
費馬點高（h'）為31.5cm
31.5cm 31.35cm 31.65cm
31.3cm 31.6cm 31.5cm
31.55cm 31.4cm 31.5cm
結(jié)果：本實驗所得之P點與費馬點計算值之間存有誤差,此乃由於實驗中會受到摩擦力等因素的影響.
六、 討論與應(yīng)用
（一） 有一角大於或等於120°的三角形中,無法利用作正三角形的作圖法求出費馬點的位置,因為利用其作圖法求出來之P點,會落在三角形之外,不符合P點至三頂點之連線所成的三個角皆等於120°度,且根據(jù)證明,費馬點和大於或等於120°該角之頂點為同一點.故在此有一角大於120°或等於的三角形不予以討論.
（二） 雖然凹四邊形之對角線交點在外部,但其對角線和P點性質(zhì)與凸四邊形相同,且做法和座標(biāo)也相同,因此省略不重復(fù)列出.
（三） 我們從實驗二發(fā)現(xiàn)了一項費馬點在物理學(xué)上的性質(zhì)：「費馬點為三角形中能量最低點」.因為在操作實驗二時,無論將P點移至何位置,釋放后總是會向原P點位置移動,即可證明原P點為三角形能量最小值之位置.
（四） 實驗所得之測量值和計算值極為接近,即可證明實驗所得之P點為費馬點,但於實驗中會受到摩擦力等因素的影響造成誤差.
（五） 費馬點在日常生活中也被廣泛應(yīng)用,只要是存在於三點之間,求一點距離和為最小值的情況,都可運用到費馬點的性質(zhì).例如在三城市中建立一變電所,要如何架設(shè)高壓電塔以減少電能的浪費,或是三戶人家之間挖掘一口井等,皆是費馬點運用的例子.
（六） 未來預(yù)期利用其它物理學(xué)及化學(xué)方法等嘗試證明初費馬點的性質(zhì),方法如下：
1. 嘗試運用電學(xué)方法證明費馬點：
在電學(xué)中,電阻的大小與電線導(dǎo)體的長度成正比,如果以費馬點到三角形三頂點的距離,分別以此量取三段長度的電阻線,并聯(lián)后的電阻,是否比非費馬點的并聯(lián)電阻為小,試圖找出三線并聯(lián)后的電阻與費馬點的關(guān)系.
(1) 取一導(dǎo)線和一電阻線串聯(lián),再將上述之裝置三條并聯(lián)交於同一電源裝置.
(2) 以上述裝置的導(dǎo)線與電阻線之交點為三角形的頂點,用木條組裝成正三角形.
(3) 將三條電阻線之末端交於三角形內(nèi)之P點,再與一安培計串聯(lián)回到電源裝置形成通路.
(4) 開啟電源,移動P點的位置,找出P點位於何處時電流值最大后將將實驗裝置垂直置於一座標(biāo)平面之上方,紀(jì)錄P點座標(biāo),再和（三）求出之P點一次函數(shù),以電腦程式計算（詳細(xì)程式參考附件二）是否符合.
(5) 改變?nèi)切蔚男螤畈⒅貜?fù)操作.
2. 嘗試從理論化學(xué)觀點探討費馬點的性質(zhì)：
在理論化學(xué)的發(fā)展上,已經(jīng)可以以電腦程式模擬小型化學(xué)分子的結(jié)構(gòu)狀態(tài),并據(jù)以求得最穩(wěn)定存在（能量最?。┑姆肿优帕?對一些三角形分子而言（如環(huán)乙烯、環(huán)乙醚,環(huán)乙胺,這些分子和外界原子的排列,在自然狀態(tài)下,勢必要保持最小能量的穩(wěn)定態(tài),而這些原子間的相關(guān)位置,是否和三角形分子構(gòu)形中的費馬點有關(guān),我想藉由一些較簡單的化學(xué)分子計算軟體（MM2,MOPAC）,試著找出其中的奧秘.
七、 結(jié)論
有關(guān)費馬點的證明相當(dāng)多,此次除了找到其數(shù)學(xué)上一些相關(guān)的結(jié)果,也利用實驗及直角座標(biāo)探討費馬點在物理上的意義,再一次充分驗證了『數(shù)學(xué)』真為『科學(xué)之母』!
（一） 費馬點在數(shù)學(xué)上有「三夾角皆為120°」及「到三頂點之和為最小值」兩種性質(zhì),除此之外,在物理學(xué)上也有「費馬點為三角形中能量最低點」的性質(zhì).
（二） 頂角小於120°的等腰三角形,費馬點必在底邊之高上,且底邊長度相同時,費馬點為同一點.而四邊形之「費馬點」即為對角線之交點.
（三） 根據(jù)理論推出,費馬點至三頂點連成之線段所夾的三個角皆為120°,恰和三力平衡時三力夾角皆為120°的特性相同,因此可用物理學(xué)上三力平衡的實驗找出費馬點之位置.
八、 參考資料及其它
（一） 參考書目
1. 酒井高男著,（1992）力學(xué)的趣味實驗,亞東書局出版
2. 張景中（1990）,數(shù)學(xué)家的眼光,九章出版
3. 張奠宙、戴再平（1996）,生活中的中學(xué)數(shù)學(xué),九章出版
4. 黃家禮（1997）,幾何明珠,九章出版
5. 佚名
希望這些對你有幫助!