方程3x的平方+2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根,所以
4(a+b+c)^2-12(ab+bc+ca)=0
(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=0
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca=0
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
上式兩邊乘以2,再處理一下,可得
a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ca=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0,
從而a=b=c,
故這個三角形是等邊三角形.