第一章 集合與函數(shù)概念
一、集合有關(guān)概念
1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素.一般地,研究對象統(tǒng)稱為元素（element）,一些元素組成的總體叫集合（set）,也簡稱集
2..集合的中元素的三個特性：
(1) 元素的確定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的無序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
說明：(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素.
(2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素.
(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣.
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性.
3..集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
關(guān)于“屬于”的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就說a屬于集合A 記作 a∈A ,相反,a不屬于集合A 記作 aA
 注意：常用數(shù)集及其記法：
非負整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：N
正整數(shù)集N*或 N+
整數(shù)集Z
有理數(shù)集Q
實數(shù)集R
(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法.
①列舉法：{a,b,c……}列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上.{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…
②描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法.用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法.{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
③語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
數(shù)學(xué)式子描述法：具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.
如：{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},…；
例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}
強調(diào)：描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}與 {y|y= x2+3x+2}不同,只要不引起誤解,集合的代表元素也可省略,例如：{整數(shù)},即代表整數(shù)集Z.
辨析：這里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必寫{全體整數(shù)}.下列寫法{實數(shù)集},{R}也是錯誤的.
說明：列舉法與描述法各有優(yōu)點,應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法,要注意,一般集合中元素較多或有無限個元素時,不宜采用列舉法.
④ Venn圖:
4、集合的分類：
(1) 有限集 含有有限個元素的集合
(2) 無限集 含有無限個元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分,；（2）A與B是同一集合.
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A
2．“相等”關(guān)系：A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)
實例：設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
結(jié)論：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即：A=B
即：① 任何一個集合是它本身的子集.AA
3.真子集:如果AB,且A B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB同時 BA 那么A=B
任何一個集合都是它本身的子集,但一定不是它本身的真子集
4.. 不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ
規(guī)定:
空集是任何集合的子集,
空集是任何非空集合的真子集.
⑴有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集,含有 個非空真子集
⑵設(shè)A B C 三個集合中元素個數(shù)分別為 mxn (m x n都是真正數(shù)且m B C A 則C的個數(shù)為 個
B C  A 或ACB則C的個數(shù)為 -1個
BCA則C的個數(shù)為 -2個
三、集合的運算
1．交集的定義：一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．
記作A∩B(讀作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}．
2、并集的定義：一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作：A∪B(讀作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}．
3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集與補集
（1）補集：設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集（即 ）,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集（或余集）
記作： CSA 即 CSA ={x  xS且 xA}
（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集.通常用U來表示.
（3）性質(zhì)：⑴CU(C UA)=A⑵(C UA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U
、集合的運算
運算類型 交 集 并 集 補 集
定義 由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A B（讀作‘A交B’）,即A B=｛x|x A,且x B｝．
由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集．記作：A B（讀作‘A并B’）,即A B ={x|x A,或x B})．
設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集（或余集）
記作 ,即
CSA=
韋
恩
圖
示
性
質(zhì) A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A(CuA)=U
A(CuA)= Φ．
第二章函數(shù)
指數(shù)與對數(shù)運算
一．分數(shù)指數(shù)冪與根式：
如果 ,則稱 是 的 次方根, 的 次方根為0,若 ,則當 為奇數(shù)時, 的 次方根有1個,記做 ；當 為偶數(shù)時,負數(shù)沒有 次方根,正數(shù) 的 次方根有2個,其中正的 次方根記做 ．負的 次方根記做 ．
1．負數(shù)沒有偶次方根；
2．兩個關(guān)系式： ；
3、正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義： ；
正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義： ．
4、分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：
⑴； ⑵；
⑶；⑷；
⑸,其中 、 均為有理數(shù), , 均為正整數(shù)
二．對數(shù)及其運算
1．定義：若,且 , ,則 ．
2．兩個對數(shù)：
⑴ 常用對數(shù)： , ；
⑵ 自然對數(shù)： , ．
3．三條性質(zhì)：
⑴ 1的對數(shù)是0,即 ；
⑵ 底數(shù)的對數(shù)是1,即 ；
⑶ 負數(shù)和零沒有對數(shù)．
4．四條運算法則：
⑴；⑵；
⑶； ⑷．
5．其他運算性質(zhì)：
⑴ 對數(shù)恒等式： ；
⑵ 換底公式： ；
⑶； ；
⑷．
函數(shù)的概念
一．映射：設(shè)A、B兩個集合,如果按照某中對應(yīng)法則 ,對于集合A中的任意一個元素,在集合B中都有唯一的一個元素與之對應(yīng),這樣的對應(yīng)就稱為從集合A到集合B的映射．
二．函數(shù)：在某種變化過程中的兩個變量 、 ,對于 在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值,按照某個對應(yīng)法則, 都有唯一確定的值和它對應(yīng),則稱 是 的函數(shù),記做 ,其中 稱為自變量, 變化的范圍叫做函數(shù)的定義域,和 對應(yīng)的 的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值 的變化范圍叫做函數(shù)的值域．
三．函數(shù) 是由非空數(shù)集 到非空數(shù)集B的映射．
四．函數(shù)的三要素：解析式；定義域；值域．
函數(shù)的解析式
一．根據(jù)對應(yīng)法則的意義求函數(shù)的解析式；
例如：已知 ,求函數(shù) 的解析式．
二．已知函數(shù)的解析式一般形式,求函數(shù)的解析式；
例如：已知 是一次函數(shù),且 ,函數(shù) 的解析式．
三．由函數(shù) 的圖像受制約的條件,進而求 的解析式．
函數(shù)的定義域
一．根據(jù)給出函數(shù)的解析式求定義域：
⑴ 整式：
⑵ 分式：分母不等于0
⑶ 偶次根式：被開方數(shù)大于或等于0
⑷ 含0次冪、負指數(shù)冪：底數(shù)不等于0
⑸ 對數(shù)：底數(shù)大于0,且不等于1,真數(shù)大于0
二．根據(jù)對應(yīng)法則的意義求函數(shù)的定義域：
例如：已知 定義域為 ,求 定義域；
已知 定義域為 ,求 定義域；
三．實際問題中,根據(jù)自變量的實際意義決定的定義域．
函數(shù)的值域
一．基本函數(shù)的值域問題：
名稱 解析式 值域
一次函數(shù)

二次函數(shù)
時,
時,
反比例函數(shù)
,且
指數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

三角函數(shù)




二．求函數(shù)值域（最值）的常用方法：函數(shù)的值域決定于函數(shù)的解析式和定義域,因此求函數(shù)值域的方法往往取決于函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征,常用解法有：觀察法、配方法、換元法（代數(shù)換元與三角換元）、常數(shù)分離法、單調(diào)性法、不等式法、*反函數(shù)法、*判別式法、*幾何構(gòu)造法和*導(dǎo)數(shù)法等．
反函數(shù)
一．反函數(shù)：設(shè)函數(shù)的值域是 ,根據(jù)這個函數(shù)中 , 的關(guān)系,用 把 表示出,得到 ．若對于 中的每一 值,通過 ,都有唯一的一個 與之對應(yīng),那么, 就表示 是自變量, 是自變量 的函數(shù),這樣的函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù),記作 ,習(xí)慣上改寫成 ．
二．函數(shù) 存在反函數(shù)的條件是： 、 一一對應(yīng)．
三．求函數(shù) 的反函數(shù)的方法：
⑴ 求原函數(shù)的值域,即反函數(shù)的定義域
⑵ 反解,用 表示 ,得
⑶ 交換 、 ,得
⑷ 結(jié)論,表明定義域
四．函數(shù) 與其反函數(shù) 的關(guān)系：
⑴ 函數(shù) 與 的定義域與值域互換．
⑵ 若 圖像上存在點 ,則 的圖像上必有點 ,即若 ,則 ．
⑶ 函數(shù) 與 的圖像關(guān)于直線 對稱．
函數(shù)的奇偶性：
一．定義：對于函數(shù) 定義域中的任意一個 ,如果滿足 ,則稱函數(shù) 為奇函數(shù)；如果滿足 ,則稱函數(shù) 為偶函數(shù)．
二．判斷函數(shù) 奇偶性的步驟：
1．判斷函數(shù) 的定義域是否關(guān)于原點對稱,如果對稱可進一步驗證,如果不對稱；
2．驗證 與 的關(guān)系,若滿足 ,則為奇函數(shù),若滿足 ,則為偶函數(shù),否則既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)．
二．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．
三．已知 、 分別是定義在區(qū)間 、上的奇（偶）函數(shù),分別根據(jù)條件判斷下列函數(shù)的奇偶性．







奇 奇 奇奇 奇 偶
奇 偶 奇
偶 奇 偶奇
偶 偶 偶 偶 偶
五．若奇函數(shù) 的定義域包含 ,則 ．
六．一次函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是 ；
二次函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是 ．
函數(shù)的周期性：
一．定義：對于函數(shù) ,如果存在一個非零常數(shù) ,使得當 取定義域內(nèi)的每一個值時,都有 ,則 為周期函數(shù), 為這個函數(shù)的一個周期．
2．如果函數(shù) 所有的周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做 的最小正周期．如果函數(shù) 的最小正周期為 ,則函數(shù) 的最小正周期為 ．
函數(shù)的單調(diào)性
一．定義：一般的,對于給定區(qū)間上的函數(shù) ,如果對于屬于此區(qū)間上的任意兩個自變量的值 , ,當 時滿足：
⑴,則稱函數(shù) 在該區(qū)間上是增函數(shù)；
⑵,則稱函數(shù) 在該區(qū)間上是減函數(shù)．
二．判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：
1．定義法：
⑴ 取值； ⑵ 作差、變形； ⑶ 判斷： ⑷ 定論：
*2．導(dǎo)數(shù)法：
⑴ 求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù) ；
⑵ 解不等式 ,所得x的范圍就是遞增區(qū)間；
⑶ 解不等式 ,所得x的范圍就是遞減區(qū)間．
3．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：
對于復(fù)合函數(shù) ,設(shè) ,則 ,可根據(jù)它們的單調(diào)性確定復(fù)合函數(shù) ,具體判斷如下表：

增 增 減 減

增 減 增 減

增 減 減 增
4．奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同．
函數(shù)的圖像
一．基本函數(shù)的圖像．
二．圖像變換：

將 圖像上每一點向上 或向下 平移 個單位,可得 的圖像

將 圖像上每一點向左 或向右 平移 個單位,可得 的圖像

將 圖像上的每一點橫坐標保持不變,縱坐標拉伸 或壓縮 為原來的 倍,可得 的圖像

將 圖像上的每一點縱橫坐標保持不變,橫坐標壓縮 或拉伸 為原來的 ,可得 的圖像

關(guān)于 軸對稱

關(guān)于 軸對稱

將 位于 軸左側(cè)的圖像去掉,再將 軸右側(cè)的圖像沿 軸對稱到左側(cè),可得 的圖像

將 位于 軸下方的部分沿 軸對稱到上方,可得的圖像
三．函數(shù)圖像自身的對稱
關(guān)系 圖像特征

關(guān)于 軸對稱

關(guān)于原點對稱

關(guān)于 軸對稱

關(guān)于直線 對稱

關(guān)于直線 軸對稱

關(guān)于直線 對稱

周期函數(shù),周期為
四．兩個函數(shù)圖像的對稱
關(guān)系 圖像特征
與
關(guān)于 軸對稱
與
關(guān)于 軸對稱
與
關(guān)于原點對稱
與
關(guān)于直線 對稱
與
關(guān)于直線 對稱
與
關(guān)于 軸對稱