你那個(gè)不太對(duì)噢,應(yīng)該是
tan(x/2) = sin(x/2)/cos(x/2)
= [2sin(x/2)cos(x/2)]/[2cos²(x/2)]
= sinx/(1 + cosx),答案1
= [sinx(1 - cosx)]/[(1+ cosx)(1 - cosx)]
= [sinx(1 - cosx)]/sin²x
= (1 - cosx)/sinx,答案2
這個(gè)方法比較適用于被積函數(shù)中含有三角函數(shù)的積分
例如∫ dx/(1 + sinx),∫ cosx/(1 + sinx) dx,∫ sin²x/(1 + cosx) dx等等
你那個(gè)積分題目不適合用這個(gè)方法
應(yīng)該用第二換元積分法
∫ dx/[1 + √(1 - x²)]
令x = sinz,dx = cosz dz
= ∫ cosz/(1 + cosz) dz
= ∫ [(1 + cosz) - 1]/(1 + cosz) dz
= ∫ dz - ∫ dz/(1 + cosz)
= z - ∫ (1 - cosz)/[(1 + cosz)(1 - cosz)] dz
= z - ∫ (1 - cosz)/sin²z dz
= z - ∫ (csc²z - csczcotz) dz
= z + cotz - cscz + C
= arcsinx + √(1 - x²)/x - 1/x + C
第二換元積分法用于消除有根號(hào),且里面最高次方是二次方的被積函數(shù)
對(duì)于√(a² - x²),令x = a * sinθ
對(duì)于√(a² + x²),令x = a * tanθ
對(duì)于√(x² - a²),令x = a * secθ恩應(yīng)該是tanx/2，打錯(cuò)了，但是這個(gè)積分題目的答案是 arcsinx + x/【1+√(1 - x²1/)】+ C我和你做的是一樣的但與書上答案不太一樣所以比較糾結(jié)，麻煩再看看，謝謝把你書里那個(gè)答案表達(dá)式打清楚吧，看不懂a(chǎn)rcsinx + x/（1+√（1-x^2))+c呵呵，怎么你沒從有理化這方面思考過呢x/[1 + √(1 - x²)] * [1 - √(1 - x²)]/[1 - √(1 - x²)]= x[1 - √(1 - x²)]/[1 - (1 - x²)]= x[1 - √(1 - x²)]/x²= 1/x - √(1 - x²)/x所以另一個(gè)答案應(yīng)該是arcsinx - x/[1 + √(1 - x²)] + C，中間那個(gè)是減號(hào)