因式分解是進行代數(shù)式恒等變形的重要手段之一,因式分解是在學習整式四則運算的基礎(chǔ)上進行的,它不僅在多項式的除法、簡便運算中等有直接的應(yīng)用,也為以后學習分式的約分與通分、解方程（組）及三解函數(shù)式的恒等變形提供了必要的基礎(chǔ),因此學好因式分解對于代數(shù)知識的后續(xù)學習,具有相當重要的意義.由于本節(jié)課后學習提取公因式法,運用公式法,分組分解法來進行因式分解,必須以理解因式分解的概念為前提,所以本節(jié)內(nèi)容的重點是因式分解的概念.由整式乘法尋求因式分解的方法是一種逆向思維過程,而逆向思維對初一學生還比較生疏,接受起來有一定難度,再者本節(jié)還沒涉及因式分解的具體方法,所以理解因式分解與整式乘法的相互關(guān)系,并運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法是難點.
十字相乘法雖然比較難學,但是一旦學會了它,用它來解題,會給我們帶來很多方便,以下是我對十字相乘法提出的一些個人見解.
1、十字相乘法的方法：十字左邊相乘等于二次項系數(shù),右邊相乘等于常數(shù)項,交叉相乘再相加等于一次項系數(shù).
2、十字相乘法的用處：（1）用十字相乘法來分解因式.（2）用十字相乘法來解一元二次方程.
3、十字相乘法的優(yōu)點：用十字相乘法來解題的速度比較快,能夠節(jié)約時間,而且運用算量不大,不容易出錯.
4、十字相乘法的缺陷：1、有些題目用十字相乘法來解比較簡單,但并不是每一道題用十字相乘法來解都簡單.2、十字相乘法只適用于二次三項式類型的題目.3、十字相乘法比較難學.
5、十字相乘法解題實例：
1)、 用十字相乘法解一些簡單常見的題目
例1把m²+4m-12分解因式
分析：本題中常數(shù)項-12可以分為-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1當-12分成-2×6時,才符合本題
因為 1 -2
1 ╳ 6
所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）
例2把5x²+6x-8分解因式
分析：本題中的5可分為1×5,-8可分為-1×8,-2×4,-4×2,-8×1.當二次項系數(shù)分為1×5,常數(shù)項分為-4×2時,才符合本題
因為 1 2
5 ╳ -4
所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3解方程x²-8x+15=0
分析：把x²-8x+15看成關(guān)于x的一個二次三項式,則15可分成1×15,3×5.
因為1 -3
1 ╳-5
所以原方程可變形（x-3）（x-5）=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x²-5x-25=0
分析：把6x²-5x-25看成一個關(guān)于x的二次三項式,則6可以分為1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1.
因為 2-5
3 ╳5
所以原方程可變形成（2x-5）（3x+5）=0
所以x1=5/2 x2=-5/3
2)、用十字相乘法解一些比較難的題目
例5把14x²-67xy+18y²分解因式
分析：把14x²-67xy+18y²看成是一個關(guān)于x的二次三項式,則14可分為1×14,2×7, 18y²可分為y.18y , 2y.9y , 3y.6y
解: 因為2 -9y
7 ╳-2y
所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)
例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
分析：在本題中,要把這個多項式整理成二次三項式的形式
解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3）4y-3
7y╳-1
=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）
=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]2 -（7y – 1）
5╳4y - 3
=（2x -7y +1）（5x +4y -3）
說明：在本題中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解為（4y-3）（7y -1）,再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解為[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]
解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y
=[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3]5╳4y
=（2x -7y+1）（5x -4y -3） 2 x -7y 1
5 x - 4y╳-3
說明:在本題中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解為（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解為[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3].
例7：解關(guān)于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法進行因式分解
x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=0
x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=01 -b
2 ╳+b
[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=01 -（2a+b）
1 ╳-（a-b）
所以 x1=2a+b x2=a-b