這個(gè)要分好幾步來(lái)講.總的來(lái)說(shuō)Cayley-Hamilton定理是用來(lái)刻畫A的極小多項(xiàng)式的性質(zhì)的.
1.對(duì)任何n階矩陣A都存在不超過(guò)n^2次的非零多項(xiàng)式f使得f(A)=0,因?yàn)槿魏蝞^2+1個(gè)n階矩陣線性相關(guān).
2.Cayley-Hamilton定理把A的極小多項(xiàng)式的次數(shù)上限從n^2降到了n,并且是構(gòu)造性地給出了一個(gè)零化多項(xiàng)式.當(dāng)然,極小多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的最終確定需要有理標(biāo)準(zhǔn)型.
3.Cayley-Hamilton定理在交換環(huán)上成立,而此時(shí)不能使用任何基于相似變換的工具.
一旦找到了A的一個(gè)零化多項(xiàng)式,就能做很多事情了.舉個(gè)例子來(lái)說(shuō),A的任何解析函數(shù)都可以表示成A的不超過(guò)n次的多項(xiàng)式,把無(wú)窮級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為了有限和.