循環(huán)小數(shù)如何化分數(shù)
眾所周知,有限小數(shù)是十進分數(shù)的另一種表現(xiàn)形式,因此,任何一個有限小數(shù)都可以直接寫成十分之幾、百分之幾、千分之幾……的數(shù).那么無限小數(shù)能否化成分數(shù)?
首先我們要明確,無限小數(shù)可按照小數(shù)部分是否循環(huán)分成兩類：無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)不能化分數(shù),這在中學將會得到詳盡的解釋；無限循環(huán)小數(shù)是可以化成分數(shù)的.那么,無限循環(huán)小數(shù)又是如何化分數(shù)的呢?由于它的小數(shù)部分位數(shù)是無限的,顯然不可能寫成十分之幾、百分之幾、千分之幾……的數(shù).其實,循環(huán)小數(shù)化分數(shù)難就難在無限的小數(shù)位數(shù).所以我就從這里入手,想辦法“剪掉”無限循環(huán)小數(shù)的“大尾巴”.策略就是用擴倍的方法,把無限循環(huán)小數(shù)擴大十倍、一百倍或一千倍……使擴大后的無限循環(huán)小數(shù)與原無限循環(huán)小數(shù)的“大尾巴”完全相同,然后這兩個數(shù)相減,“大尾巴”不就剪掉了嗎!我們來看兩個例子：
⑴ 把0.4747……和0.33……化成分數(shù).
想1：0.4747……×100=47.4747……
0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747……
(100－1)×0.4747……=47
即99×0.4747…… =47
那么 0.4747……=47/99
想2：0.33……×10＝3.33……
0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33……
(10-1) ×0.33……=3
即9×0.33……=3
那么0.33……=3/9=1/3
由此可見,純循環(huán)小數(shù)化分數(shù),它的小數(shù)部分可以寫成這樣的分數(shù)：純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)最少位數(shù)是幾,分母就是由幾個9組成的數(shù)；分子是純循環(huán)小數(shù)中一個循環(huán)節(jié)組成的數(shù).
⑵把0.4777……和0.325656……化成分數(shù).
想1：0.4777……×10=4.777……①
0.4777……×100=47.77……②
用②－①即得:
0.4777……×90=47－4
所以,0.4777……=43/90
想2：0.325656……×100=32.5656……①
0.325656……×10000=3256.56……②
用②－①即得:
0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……
0.325656……×9900=3256－32
所以,0.325656……=3224/9900