已知雙曲線x²比a²－y²比b²＝1的離心率e=2√3/3,過(guò)A（a,0）B（0,-b）的直線到原點(diǎn)的距離是2√3/3.問(wèn)：①求雙曲線的方程②已知直線y=kx+5(k≠0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C,D且C

已知雙曲線x²比a²－y²比b²＝1的離心率e=2√3/3,過(guò)A（a,0）B（0,-b）的直線到原點(diǎn)的距離是2√3/3.問(wèn)：①求雙曲線的方程②已知直線y=kx+5(k≠0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C,D且C,D都在以B為圓心的圓上,求k的值.

數(shù)學(xué)人氣：647 ℃時(shí)間：2020-04-12 00:47:37

優(yōu)質(zhì)解答

1、有A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)得AB方程為,bx-ay-ab=0,原點(diǎn)到AB直線距離公式得
ab／√（a²＋b²）=2√3／3.即ab／c=2√3／3,又c／a=e=2√3／3,解得b=4／3,a²=16／3,
曲線方程為x²／(16／3)-y²／(16／9)=1.
2、設(shè)C（x1,y1）,D(x2,y2),將直線方程帶入曲線方程得(3-9k²)x²-90kx-241=0,有韋達(dá)定理得x1+x2=90k／(3-9k²),y1+y2=k(x1+x2)+10=30／(3-9k²),
CD中點(diǎn)H（45k／(3-9k²),15／(3-9k²)）,由題意得BH和CD垂直.即二者斜率之積為
-1.即15／（3-9k²）+4／3=-1／k×(45k／（3-9k²）),解得k=±4√3／3.

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