e^ix=cosx+isinx,e是自然對數(shù)的底,i是虛數(shù)單位.它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.　　e^ix=cosx+isinx的證明：　　因?yàn)閑^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+…… 　　cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… 　　sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 　　在e^x的展開式中把x換成±ix.　　(±i)^2=-1,(±i)^3=∓i,(±i)^4=1 …… 　　e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!…… 　　=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 　　所以e^±ix=cosx±isinx 　　將公式里的x換成-x,得到：　　e^-ix=cosx-isinx,然后采用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個(gè)也叫做歐拉公式.將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：　　e^iπ+1=0.這個(gè)恒等式也叫做歐拉公式,它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式,它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對數(shù)的底e,圓周率
π,兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1,以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0.數(shù)學(xué)家們評價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”,我們只能看它而不能理解它.
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